Question

如图，已知AB是⊙O 的直径，P为⊙O外一 点，且OP∥BC， ∠P=∠BAC． （1）求证：PA

如图，已知AB是⊙O 的直径，P为⊙O外一 点，且OP∥BC， ∠P=∠BAC． （1）求证：PA为⊙O 的切线； （2）若OB=5，OP= 25 3 ，求AC的长．

Answer 1

图是这个：？

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；

 （2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=25/3

    ∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=根号PO²−OA²=20/3

    由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴AB/PO=AC/PA

∴10/25/3=AC/20/3

解得AC=8．即AC的长度为8．