Question

如图所示，设过△OAB重心G的直线与边OA、OB分别交于点P、Q，设向量OP=h向量OA，向量OQ=k向量OB。求证：1/

如图所示，设过△OAB重心G的直线与边OA、OB分别交于点P、Q，设向量OP=h向量OA，向量OQ=k向量OB。求证：1/h+1/k=3

证明：延长OG交边AB与M，则M为AB边中点，
∴向量OM=（向量OA+向量OB）/2=（向量OP/h+向量OQ/k）/2=向量OP/2h+向量OQ/2k.
又向量OM=3向量OG/2，∴向量OG=（1/3h）向量OP+（1/3k）向量OQ.
∵P、Q、G三点共线，且向量OP、向量OQ是不共线的向量.
∴1/3h+1/3k=1，即1/h+1/k=3

疑问：
P、Q、G三点共线，且向量OP、向量OQ是不共线的向量.
怎么得到的
1/3h+1/3k=1，即1/h+1/k=3 ？

Answer 1

这里用到一个结论：
已知O,P,Q是不共线的三点，且向量OG=mOP+nOQ,若P,G,Q三点共线，求证m+n=1.

【证明】
设G分PQ的比是λ，则有
PG=λGQ,
OG-OP=λ(OQ-OG)
OG=OP+λOQ-λOG
(1+λ)OG=OP+λOQ
OG=OP/(1+λ)+λOQ/(1+λ)
与OG=mOP+nOQ比较可得
m=1/(1+λ)，n=λ/(1+λ)
所以m+n=1/(1+λ)+λ/(1+λ)=1

利用上面已证结论可得：
∵P、Q、G三点共线，且向量OP、向量OQ是不共线的向量.
∴1/(3h)+1/(3k)=1，即1/h+1/k=3.