Question

已知函数f(x)＝sin2x+3sinxcosx+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若

已知函数f(x)＝sin2x+3sinxcosx+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[π2， π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

（I）f(x)＝

1?cos2x

2

+

3

2

sin2x+(1+cos2x)
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

＝sin(2x+

π

6

)+

3

2

．（3分）
∴f（x）的最小正周期T＝

2π

2

＝π．（4分）
由题意得2kπ?

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即　kπ?

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（7分）
（Ⅱ）若x∈[

π

2

， π]，则2x+

π

6

∈[

7π

6

， 

13π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[?1，

1

2

]，
∴f(x)∈[

1

2

，2]．         （12分）