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如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC 于点E.(1
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC于点E.(1)求证:AC是∠EAB的平分线;(2)若BD=2,DC=...
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,过点C的切线与AB的延长线相交于点D,AE⊥DC交DC 于点E.(1)求证:AC是∠EAB的平分线;(2)若BD=2,DC=4,求AE和BC的长.
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(1)证明:如图,连接OC, ∵DE是⊙O的切线, ∴OC⊥DE. 又∵AE⊥DE, ∴OC ∥ AE. ∴∠EAC=∠OCA. 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA. ∴∠EAC=∠OAC. ∴AC是∠EAB的平分线. (2)∵CD是⊙O的切线, ∴DC 2 =DB?DA,即4 2 =2?DA. 解得DA=8,∴AB=6. 由(1)知,OC ∥ AE, ∴△DCO ∽ △DEA. ∴
即
解得AE=
∵DC是⊙O的切线, ∴∠DCB=∠DAC,又∠D=∠D. ∴△DCB ∽ △DAC. ∴
∴AC=2CB. 在Rt△ABC中,由勾股定理得: AC 2 +BC 2 =AB 2 ,即(2BC) 2 +(BC) 2 =6 2 解得BC=
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