Question

已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增，求a的取值范围

Answer 1

f(x) = lnx + (1 - x)/(ax)
f'(x) = 1/x + [(ax)(-1) - (1 - x)(a)]/(ax)²
= 1/x - a/(ax)²
= 1/x - 1/(ax²)
∵f(x)在[1，+∞)递增，
∴f'(1) > 0
1 - 1/a > 0
a(a - 1) > 0
a < 0 或 a > 1，但a > 0
所以a的取值范围是(1，+∞)
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函数f(x)在〔1,+∞)上可导且为增函数，
故f’(x)=-1/ax^2+1/x =(ax-1)/ax^2
令f’(x)>0 x>1/a 1/a<Xmin=1 得到a>1

Answer 2

1、函数应该是f(x)=lnx+(1-x)/(ax)吧，函数f(x)在区间[1，＋∞）内是单调函数，则f'(x)=1/x-1/(ax^2)=0在（1，＋∞）有解，即x=1/a在（1，＋∞），亦即1<1/a，所以0<a<1，所以a的取值范围为（0，1）。