数的整除 5
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快速判断整除五法
姜殿玺
（魏县教育局教研室，河北 邯郸 056800）
中图分类号：C424.1 文章标识码：B
文章编号：
在计算中，经常需要判断一个数能不能被另一个数整除，我们可根据数的一些特征来进行判断。怎样才能快速判断一个数能不能被另一个数整除呢？请看下列快速判断整除的五种方法及其能被四十一个除数（末尾是0的数除外）整除的数的特征。
一、 尾除法
看一个数的尾数能不能被另一个数整除，如果它的尾数能被另一个数整除，那么这个数就能被另一个数整除，这叫做尾除法。
1、 能被2整除的数
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
例1、7560÷2
7560的个位上是0，所以7560能被2整除。
例2、9678÷2
9678的个位上是8，所以9678能被2整除。
2、 能被4整除的数
一个数的末两位数（或者大于80时，减去80后的差数，或者大于40时，减去40后的差数）能被4整除，那么这个数就能被4整除。
例3、4728÷4
4728的末两位数是28，28能被4整除，所以4728就能被2整除。
例4、6894÷4
6894的末两位数94减去80后的差数是14，14不能被4整除，所以6894就不能被4整除。
3、能被8整除的数
一个数的百位上的数是0、2、4、6、8时，末两位数能被8整除，这个数就能被8整除；一个数的百位上的数是1、3、5、7、9时，末两位数减去或者加上20（够减则减，不够减则加）后能被8整除，这个数就能被8整除。
例5、2856÷8
2856的百位上是8，末两位数56能被8整除，所以2856就能被8整除。
例6、17568÷8
17568的百位上的数是5，末两位数68减去20等于48，48能被8整除，所以17568就能被8整除。
4、能被5整除的数
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
例7、320÷5
320的个位上是0，所以320能被5整除。
例8、76875÷5
76875的个位上是5，所以76875能被5整除。
5、能被25整除的数
末两位上是0、25、50、75的数，都能被25整除。
例9、 23590÷25
23590不是末两位上是0、25、50、75的数，所以23590不能被25整除。
例10、 798000÷25
798000末两位上是0，所以798000能被25整除。
6、 能被125整除的数
末三位上是0、125、250、375、500、625、750、875的数，都能被125整除。
例11、 35625÷125
35625末三位上是625。所以35625能被125整除。
例12、 98755÷125
98755不是末三位上是0、125、250、500、625、750、875的数，所以98755不能被125整除。
二、位数和除法
用被乘数各位上数的和除以除数来判断整除的方法，叫做位数和除法。
1、能被3整除的数
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
例13、 7653÷3
7＋6＋5＋3＝21 21÷3＝7 所以7653就能被3整除。
为了判断得更快些，几个数相加时，可以用“去三六九法” 。“去三六九法” 就是在相加的口算中，遇见3、6、9的数舍去不加，如例13，7＋5 = 12（6和3舍去不加），12÷3＝4，所以7653能被3整除。
2、能被9整除的数
一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。
例14、 84963÷9
8＋4＋9＋6＋3＝30 30÷9＝3……3 所以84963就不能被9整除。
为了判断得更快些，几个数相加时，可以用“去九法” 。“去九法” 就是在相加的口算中，遇见9或者两个数能凑成9的数舍去不加，如例14，8＋4=12（9、6、3舍去不加），12不能被9整除，所以84963就不能被9整除。
三、位数和差法
用被除数奇偶数位上数的和的差来判断整除的方法，叫做位数和差法。
能被11整除的数
一个数的奇数位上数的和与偶数位上数的和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
例15、15312÷11
（1＋3＋2）－（5＋1）＝6－6＝0， 0能被11整除，所以15312就能被11整除。
例16、390929÷11
（9＋9＋9）－（3＋0＋2）＝27－5＝22， 22能被11整除，所以390929就能被11整除。
四、两结合法
用两种基本的方法来判断一个数能否被另一个数整除的方法，叫做两结合法。两结合法有尾除法与位数和除法相结合、尾除法与位数和差法相结合、位数和除法与位数和差法相结合三种。
1、 尾除法与位数和除法相结合
当除数是6、12、24、15、75、375、18、36、72、45、225、1125时，我们可以分别把它们分解成如下两个因数，这样就可以根据能被这两个因数整除的数的特征，用尾除法和位数和除法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
6＝2×3 12＝4×3 24＝8×3 15＝5×3 75＝25×3 375＝125×3
18＝2×9 36＝4×9 72＝8×9 45＝5×9 225＝25×9 1125＝125×9
例17、6783912÷72
6783912能被8整除，又能被9整除，所以6783912也能被72整除。
例18、756350÷225
756350能被25整除，但不能被9整除，所以756350就不能被225整除。
2、 尾除法与位数和差法相结合
当除数是22、44、88、55、275、1375时，我们可以分别把它们分解成如下两个因数，这样就可以根据能被这两个因数整除的数的特征，用尾除法和位数和差法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
22＝2×11 44＝4×11 88＝8×11
55＝5×11 275＝25×11 1375＝125×11
例19、968768÷88
968768能被8整除，但不能被11整除，所以968768就不能被88整除。
例20、 959750÷1375
959750能被125整除，又能被11整除，所以959750也能被1375整除。
3、位数和除法与位数和差法相结合
当除数是33和99时，我们可以分别把它们分解成如下两个因数，这样就可以根据能被这两个因数整除的数的特征，用位数和除法和位数和差法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
33＝3×11 99＝9×11
例21、777744÷99
777744能被9整除，又能被11整除，所以777744也能被99整除。
五、三结合法
用三种基本的方法来判断一个数能否被另一个整除的方法，叫做三结合法。
当除数是66、198、132、396、264、792、165、195、825、2475、375、4125时，我们可以分别把它们分解成如下三个因数，这样就可以根据能被这三个因数整除的数的特征，用尾除法、位数和除法和位数和差法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
66 ＝ 2×3×11 198 ＝ 2×9×11
132 ＝ 4×3×11 396 ＝ 4×9×11
264 ＝ 8×3×11 792 ＝ 8×9×11
165 ＝ 5×3×11 495 ＝ 5×9×11
825 ＝ 25×3×11 2475 ＝ 25×9×11
4125＝125×3×11 12375＝125×9×11
例22、46728÷66
46728能被2、3和11整除，所以46728也能被66整除。
例23、3672965÷12375
3672965不能被125整除，所以3672965就不能被12375整除。
判断一个数能否被另一个数整除，用结合法时，要先用尾除法，再用位数和除法，后用位数和差法，这样判断整除比较简捷。
判断整除法 除 数
尾除法 2 4 8
5 25 125
位数和除法 3 9
位数和差法 11
两结合法 6 18 22 15 45 55
12 36 44 75 225 275
24 72 88 375 1125 1375
33 99
三结合法 66 198 165 195
132 396 825 2475
264 792 4125 12375
说明：1、本刊2003年第9期上刊载了本文作者的文章《判断整除的口算法》，介绍了判断整除的五种口算法及其能被二十九个除数整除的数的特征。现作者又发现了能被其它十二个除数整除的数的特征（末尾是0的除数除外），这样判断整除的除数就增加到了四十一个。经整修、完善和提高后再次发表于贵刊。
2、还有除数625、3125、15625……也可用尾除法和结合法判断整除，但是这些数较大，用的机会不多，实际意义不大，故在此没有编入尾除法和结合法。
姜殿玺
（魏县教育局教研室，河北 邯郸 056800）
中图分类号：C424.1 文章标识码：B
文章编号：
在计算中，经常需要判断一个数能不能被另一个数整除，我们可根据数的一些特征来进行判断。怎样才能快速判断一个数能不能被另一个数整除呢？请看下列快速判断整除的五种方法及其能被四十一个除数（末尾是0的数除外）整除的数的特征。
一、 尾除法
看一个数的尾数能不能被另一个数整除，如果它的尾数能被另一个数整除，那么这个数就能被另一个数整除，这叫做尾除法。
1、 能被2整除的数
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
例1、7560÷2
7560的个位上是0，所以7560能被2整除。
例2、9678÷2
9678的个位上是8，所以9678能被2整除。
2、 能被4整除的数
一个数的末两位数（或者大于80时，减去80后的差数，或者大于40时，减去40后的差数）能被4整除，那么这个数就能被4整除。
例3、4728÷4
4728的末两位数是28，28能被4整除，所以4728就能被2整除。
例4、6894÷4
6894的末两位数94减去80后的差数是14，14不能被4整除，所以6894就不能被4整除。
3、能被8整除的数
一个数的百位上的数是0、2、4、6、8时，末两位数能被8整除，这个数就能被8整除；一个数的百位上的数是1、3、5、7、9时，末两位数减去或者加上20（够减则减，不够减则加）后能被8整除，这个数就能被8整除。
例5、2856÷8
2856的百位上是8，末两位数56能被8整除，所以2856就能被8整除。
例6、17568÷8
17568的百位上的数是5，末两位数68减去20等于48，48能被8整除，所以17568就能被8整除。
4、能被5整除的数
个位上是0或者5的数，都能被5整除。
例7、320÷5
320的个位上是0，所以320能被5整除。
例8、76875÷5
76875的个位上是5，所以76875能被5整除。
5、能被25整除的数
末两位上是0、25、50、75的数，都能被25整除。
例9、 23590÷25
23590不是末两位上是0、25、50、75的数，所以23590不能被25整除。
例10、 798000÷25
798000末两位上是0，所以798000能被25整除。
6、 能被125整除的数
末三位上是0、125、250、375、500、625、750、875的数，都能被125整除。
例11、 35625÷125
35625末三位上是625。所以35625能被125整除。
例12、 98755÷125
98755不是末三位上是0、125、250、500、625、750、875的数，所以98755不能被125整除。
二、位数和除法
用被乘数各位上数的和除以除数来判断整除的方法，叫做位数和除法。
1、能被3整除的数
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
例13、 7653÷3
7＋6＋5＋3＝21 21÷3＝7 所以7653就能被3整除。
为了判断得更快些，几个数相加时，可以用“去三六九法” 。“去三六九法” 就是在相加的口算中，遇见3、6、9的数舍去不加，如例13，7＋5 = 12（6和3舍去不加），12÷3＝4，所以7653能被3整除。
2、能被9整除的数
一个数的各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。
例14、 84963÷9
8＋4＋9＋6＋3＝30 30÷9＝3……3 所以84963就不能被9整除。
为了判断得更快些，几个数相加时，可以用“去九法” 。“去九法” 就是在相加的口算中，遇见9或者两个数能凑成9的数舍去不加，如例14，8＋4=12（9、6、3舍去不加），12不能被9整除，所以84963就不能被9整除。
三、位数和差法
用被除数奇偶数位上数的和的差来判断整除的方法，叫做位数和差法。
能被11整除的数
一个数的奇数位上数的和与偶数位上数的和的差能被11整除，这个数就能被11整除。
例15、15312÷11
（1＋3＋2）－（5＋1）＝6－6＝0， 0能被11整除，所以15312就能被11整除。
例16、390929÷11
（9＋9＋9）－（3＋0＋2）＝27－5＝22， 22能被11整除，所以390929就能被11整除。
四、两结合法
用两种基本的方法来判断一个数能否被另一个数整除的方法，叫做两结合法。两结合法有尾除法与位数和除法相结合、尾除法与位数和差法相结合、位数和除法与位数和差法相结合三种。
1、 尾除法与位数和除法相结合
当除数是6、12、24、15、75、375、18、36、72、45、225、1125时，我们可以分别把它们分解成如下两个因数，这样就可以根据能被这两个因数整除的数的特征，用尾除法和位数和除法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
6＝2×3 12＝4×3 24＝8×3 15＝5×3 75＝25×3 375＝125×3
18＝2×9 36＝4×9 72＝8×9 45＝5×9 225＝25×9 1125＝125×9
例17、6783912÷72
6783912能被8整除，又能被9整除，所以6783912也能被72整除。
例18、756350÷225
756350能被25整除，但不能被9整除，所以756350就不能被225整除。
2、 尾除法与位数和差法相结合
当除数是22、44、88、55、275、1375时，我们可以分别把它们分解成如下两个因数，这样就可以根据能被这两个因数整除的数的特征，用尾除法和位数和差法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
22＝2×11 44＝4×11 88＝8×11
55＝5×11 275＝25×11 1375＝125×11
例19、968768÷88
968768能被8整除，但不能被11整除，所以968768就不能被88整除。
例20、 959750÷1375
959750能被125整除，又能被11整除，所以959750也能被1375整除。
3、位数和除法与位数和差法相结合
当除数是33和99时，我们可以分别把它们分解成如下两个因数，这样就可以根据能被这两个因数整除的数的特征，用位数和除法和位数和差法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
33＝3×11 99＝9×11
例21、777744÷99
777744能被9整除，又能被11整除，所以777744也能被99整除。
五、三结合法
用三种基本的方法来判断一个数能否被另一个整除的方法，叫做三结合法。
当除数是66、198、132、396、264、792、165、195、825、2475、375、4125时，我们可以分别把它们分解成如下三个因数，这样就可以根据能被这三个因数整除的数的特征，用尾除法、位数和除法和位数和差法快速判断一个数能否被这个除数整除了。
66 ＝ 2×3×11 198 ＝ 2×9×11
132 ＝ 4×3×11 396 ＝ 4×9×11
264 ＝ 8×3×11 792 ＝ 8×9×11
165 ＝ 5×3×11 495 ＝ 5×9×11
825 ＝ 25×3×11 2475 ＝ 25×9×11
4125＝125×3×11 12375＝125×9×11
例22、46728÷66
46728能被2、3和11整除，所以46728也能被66整除。
例23、3672965÷12375
3672965不能被125整除，所以3672965就不能被12375整除。
判断一个数能否被另一个数整除，用结合法时，要先用尾除法，再用位数和除法，后用位数和差法，这样判断整除比较简捷。
判断整除法 除 数
尾除法 2 4 8
5 25 125
位数和除法 3 9
位数和差法 11
两结合法 6 18 22 15 45 55
12 36 44 75 225 275
24 72 88 375 1125 1375
33 99
三结合法 66 198 165 195
132 396 825 2475
264 792 4125 12375
说明：1、本刊2003年第9期上刊载了本文作者的文章《判断整除的口算法》，介绍了判断整除的五种口算法及其能被二十九个除数整除的数的特征。现作者又发现了能被其它十二个除数整除的数的特征（末尾是0的除数除外），这样判断整除的除数就增加到了四十一个。经整修、完善和提高后再次发表于贵刊。
2、还有除数625、3125、15625……也可用尾除法和结合法判断整除，但是这些数较大，用的机会不多，实际意义不大，故在此没有编入尾除法和结合法。
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