Question

等腰梯形ABCD，AD=4,BC=9,∠B=45度，动点P从点B出发沿BC向C运动，动点Q同时以相同速度从点C沿CD向D运动，

其中一个点到达终点，另一个动点也随之停止，设BP=X,问当X为何值时，△PCQ的面积最大

Answer 1

1、AD=4，BC=9，BL=2.5∠B=45° 则 △ABL为一个等腰直角三角形，
所以AB*AB=2*（2.5*2.5）
这里应该会算了吧！AB=√2*（2.5*2.5）=2.5√2
2、S△PCQ=（1/2）*PC*h=（1/2）*（BC-X）CQ*sin45°而CQ=BP=x，所以S=0.5(9-x)x*(√2)/2
=(9√2)/4x-(√2)/4x*x,其是，x小于CD长度，即AB长度。所以问题转为求一个二次函数的最大值。因为a小于0，所以 最大值为顶点处，即为对称轴处的值，而该二次函数的△大于0，所以
在x=-b/（2a）时，取得最大值，即在x=8/9，所以，最大值为：（146√2）/81
3、最大BP值为CQ即AB长度，2.5√2，
而当AB上存在一点M使得四边形PCQM为菱形，最少PC=CQ，则P点应位于N点处，
则BP=9-2.5与刚才所证BP最大值矛盾，所以，不存在这样一个点M，使得四边形PCQM为菱形.

Answer 2

（2011•新疆）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．
考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形．
分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，再根据∠B的正弦值，即可推出AB的长度；
（2）作QF⊥BC，根据题意推出BP=CQ，推出CP关于x的表达式，然后根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值；
（3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，若存在，则PC=QC，9-x=x，x=92，得出矛盾，所以假设是错误的，故AB上不存在M点．
解答：解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=522；
（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，则△CQF是等腰直角三角形．
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=22x，
设△PQC的面积为y，
∴y=（9-x）•22x•12，
即y=-24x2+924x=-24(x-92)2+81216，
∵AB=522，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．BP=x，
∴0＜x≤522＜92，
∴当x=522时，△PQC的面积最大，最大值为：
S=12PC•QF=12（9-522）×52
=454-2528；
（3）不存在，
若存在，则PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=92，
而92＞522，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．

Answer 3

AB=五倍根号二
S=0.5（9-x）（x除以根号二），
x=4.5时，，△PCQ的面积最大为十六分之八十一倍根号二

Answer 4

答案见附图

Answer 5

2、S△PCQ=（1/2）*PC*h=（1/2）*（BC-X）CQ*sin45°而CQ=BP=x，所以S=0.5(9-x)x*(√2)/2
=(9√2)/4x-(√2)/4x*x,其是，x小于CD长度，即AB长度。所以问题转为求一个二次函数的最大值。因为a小于0，所以 最大值为顶点处，即为对称轴处的值，而该二次函数的△大于0，所以
在x=-b/（2a）时，取得最大值，即在x=8/9，所以，最大值为：（146√2）/81