Question

函数f(x)=ax^2-2x+2(a∈R)，对于满足1<x<4的一切x值都有f (x)>0，求实数a的取值范围

解：当a=0时，f(x)=-2x+2，由-2x+2>0得x<1，不符合题意，∴a≠0
当a>0时，欲使f(x)>0，x∈(1,4)等价于
(1)a>0，△=4-8a<0，∴a>1/2
(2)a>0，1/a>0，f(4)>0，∴无解
(3)a>0，1/a<1，f(x)>0，∴a>1
当a<0时，欲使f(x)>0，x∈(1，4)，等价于f(1)>0，f(4)>0，∴a>0，a>3/8，∴a>3/8，与a<0矛盾，无解
综合上述，a>1/2
以上是参考资料上的解题步骤，但是有一点问题让我和迷惑，
当a>0时，△=4-8a<0，此时函数应该是无实数根才对，那么为什么a>0时，a>1/2仍然成立呢？

Answer 1

f(x)=0的解就是和x轴的交点。f(x)>0就是在无实根的情况下成立，这样才没有和x轴的交点，又a>0所以在x轴上方。

追问

能具体说说f(x)=0，f(x)>0时，△=b^2-4ac<0图像和解的问题？ 二次方程与二次函数有什么关系？

追答

额。。文字不好描述啊。
f(x)的值就是在y轴上的位置，x就是在x轴上的位置，给定一个x的值就能得到函数在这时的图像的那个点。函数图像就是这样画的。
你可以画个简易草图，3点确定函数位置。一个顶点，顶点左右各一个。多画几次就能懂了。
数学基本功还是主要靠练习，函数多画图容易有直观的印象。
第一次写这么多，求个最佳吧。。。欢迎再问

Answer 2

设函数f(x)=ax^2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值,都有f(x)>0,求实数a的取值范围
解：
f(x)>0恒成立，即ax²-2x+2>0恒成立，
∴a>(2x-2)/x²恒成立
也即a>-2(1/x)²+2(1/x)恒成立
设1/x=t，则1/4<t<1
于是有a>-2t²+2t=-2(t-1/2)²+1/2
也就是a大于g(t)=-2t²+2t在(1/4,1)上的最大值，而这个最大值是1/2
∴a>1/2
即a的取值范围是：（1/2,+∞）

Answer 3

asd

Answer 4

饿