Question

如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是弧EF

上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若 BG比BM=3，则BK=

Answer 1

本题有两个答案：1/3，5/3,
以P在圆弧左侧为例：
先证OP⊥MG，△BHK相似于△BGM, ，△BHK相似于△HAO,然后利用比的一些性质得BK=1/3
具体证明耐春如下：
解：∵正方形ABCD，边长为2，O为AD的中点知亩哗
∴AO=1,∠ABC=90°
又∵O为圆心，OE为半径，直线MPG是圆O的切线
∴OP⊥MPG, ∴OH⊥MG
∴∠MPH=90°∴∠BHP+∠BMG=90°
在直角三角形BMG中，∠BGM+∠BMG=90°
∴∠BHP=∠搭行BGM
又因为：∠HBK=∠GBM=90°=∠A
∴△BHK相似于△BGM，△BHK相似于△HAO
∴BG/BH=BM/BK , BK/AO=BH/AH
∴BG/BM=BH/BK=3,BH/BK=AH/AO=3
∴BH=1,BK=1/3

第二种情况：点P在圆弧右则时同样利用三角形相似，对应边成比例，再利用一些比的性质可得：
BK=5/3

Answer 2

BK=1/3， 5/3