Question

高中数学，加急！！已知圆x2+y2=5，直线l与圆C相交于

已知圆x^2+y^2=5，直线l与圆C相交于A、B两点，若在圆C上存在点P，使向量OP=向量OA+OB=λa，a=（1，-2）求直线l方程及对应的点P坐标？详解

Answer 1

先求向量OP：
∵P在圆上，
∴向量OP的模等于圆的半径：
｜op｜=√5
∵OP=λa
∴｜λa｜=√5
∴｜λ｜=1即λ=±1
∴OP=（1，-2）或OP=（-1，2）
∵向量OP=向量OA+OB且A B P都在圆上（三个向量的模相等）
∴向量OP 向量OA 向量OB三个向量间的夹角为120度
∴向量AB⊥向量OP
∴l的斜率k=1/2
反向延长OP与AB交于D与圆交于E则D为OE中点（利用三角形30度所对直角边是斜边一半，斜边等于半径）
下面分类讨论：
（1）当P点坐标为（1，-2）时E点坐标=（-1，2）D点坐标=（-1/2，1）
D点在l上 利用点斜式公式写成直线l的方程：略
（2）当P点坐标为（-1，2）时E点坐标=（1，-2）D点坐标=（1/2，-1）
D点在l上 利用点斜式公式写成直线l的方程：略

Answer 2

Let A(Xa, Ya), B(Xb, Yb), so Vector OA = (Xa, Ya), Vector OB = (Xb, Yb). apparently λ != 0, so ( (Xa + Xb) , (Ya + Yb) ) = (λ, -2λ) = Vector OP. Therefore P(λ, -2λ)

Because P is on the circle x^2+y^2=5, hence λ^2 + 4λ^2 = 5 , we get λ = ± 1, hence P(1, -2) Or P(-1, 2)

Now that OP = OA + OB, AB = OB - OA . Therefore OP * AB = OB^2 - OA^2 = 0. So OP⊥AB.
Since |OA| = |OB|, the middle point of AB, let's say M( (Xa + Xb) / 2 , (Ya + Yb) / 2) , is on OP

Now if P(-1, 2), we get Line OP is y = -2 x, so Kab = 1/ 2. Substituting M into Line OP gives us -(Xa + Xb) = (Ya + Yb) / 2. Noting that (Xa + Xb) = Xp = -1, we have M(-0.5, 1) is ON line AB. Therefore Line AB is y = 0.5x + 1.25

Similarly when P is (1, - 2), Kab = 1/ 2, M(0.5, -1), hence y = 0.5 x - 1.25
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End of answer

Answer 3

解：因为向量OP=向量OA向量+OB=λ向量a，向量a=（1，-2）,
所以P（λ，-2λ），因为P在圆上，所以λ^2+(-2λ)^2=5,所以λ=1或-1，即P（1，-2）或（-1,2），
当λ=1时连接AP,BP。易证OAPB是为一菱形，则AB垂直OP，当P（1，-2），kop=-2,则kab=1/2,又OP中点（1/2,-1）即也是AB中点，所以lAB:y-(-1)=1/2(x-1/2)即：2x-4y-5=0;当P（-1,2）时同样可求LAB:2x-4y+5=0