Question

矩阵对角化的问题

1.若n阶方阵A,有r(A)=1,且trA不为0,证A可对角化

2.若A和B都是n阶对角阵,证明A和B相似当且仅当A与B的主对角元素除排列次序外试完全相同的
第二个题应该充分性和必要性都证明

第一题我自己想出来了,帮我看看对不对.
第一题我自己想出来了,大家看看对不对.
证:|λI-A|=λ^n-trAλ^(n-1)
(因为r(A)=1,据矩阵秩的定义,A的2阶到n阶子式的行列式均为零)
此时有|λI-A|=λ^(n-1)(λ-trA)
A的特征值分别为λ=0,λ=trA≠0
r(0I-A)=r(-A)=r(A)=1
n-r(0I-A)=n-1
又因为n-r(trA*I-A)>=1,此时只能为1,则n-r(0I-A)+n-r(trA*I-A)=n,所以A可对角化

参考:线性代数与解析几何,清华大学出版社,俞正光等编.P316 26T

Answer 1

两道题都很显然的.

第一题,你进行jordan分块对角化,因为秩为1,马上可以推出分块上所有可能出现的1都为0,所以可对角.

第二题,A,B相似,if and only if A，B有相同特征多项式，if and only if A，B有完全相同特征直，if and only if A，B主对角元素除排列次序外试完全相同的

Answer 2

2```n阶对角阵A和B相似,则秩和迹都相等,即r(A)=r(B),tr(A)=tr(B),
所以A与B的主对角元素除排列次序外是完全相同的.

Answer 3

建议你去看一下jordan标准型
一个矩阵化为jordan标准型后若不是对角阵，它就不能对角化。

Answer 4

sorry