Question

已知曲线在任一点处的切线斜率等于这个点的纵坐标,且曲线通过点(0,1),求该曲线的方程

Answer 1

首先要判断这个是什么类型的曲线，这是解答本题的关键噢。假设曲线方程为：y=f(x)，曲线的任何一点的斜率是该曲线方程的导数（这个你该知道吧 不知道的话数学书上肯定有 应该是高二的内容），表示为y'=f'(x)，那么根据题目有：f(x)=f'(x)，即任何一点的纵坐标和该点的斜线斜率相等。想想，有什么函数的导数是它自己本身呢？ 连小白都知道是指数函数啦，所以可以设要求的曲线方程为：y=k*e^tx,其中k和t是两个未知的常数，就是我们要求的，由式子：f(x)=f'(x)有：k*e^tx=k*t*e^tx，所以t=1，所以y=k*e^x，又因为曲线过（0,1），则1=k*e^0=k，所以k=1，所以要求的曲线方程为：y=e^x，是最简单的曲线方程噢。