Question

如图，已知二次函数y=ax平方-2ax+c（a＜0）的图像与x轴负半轴交于点A（-1，0）与y轴正半轴交于点B，顶点为P

如图，已知二次函数y=ax平方-2ax+c（a＜0）的图像与x轴负半轴交于点A（-1，0）与y轴正半轴交于点B，顶点为P，OB=3OA，一次函数y=kx+b的图像经过A，B
（1）一次函数解析式
（2）顶点p坐标
（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的的直线上，且tanOAM=3／2，求M点
（4）设抛物线对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE，PD上动点，连接QD，QN请求出QD+QN最小值
主要第三问和第四问不会，详细的讲一下啦

Answer 1

第一个问题：
∵OB＝3OA，∴OB/OA＝3，∴tan∠BAO＝OB/OA＝3，∴AB的斜率＝tan∠BAO＝3。
∴AB的方程是：y＝3（x＋1）＝3x＋3。
∴满足条件的一次函数的解析式是：y＝3x＋3。

第二个问题：
令y＝3x＋3中的x＝0，得：y＝3，∴点B的坐标是（0，3）。
∵点B（0，3）在抛物线y＝ax^2－2ax＋c上，∴c＝3。
∴抛物线方程可改写成：y＝ax^2－2ax＋3。
∵点A（－1，0）在抛物线y＝ax^2－2ax＋3上，∴a＋2a＋3＝0，∴a＝－1。
∴抛物线的解析式是：y＝－x^2＋2x＋3＝－（x^2－2x＋1）＋4＝－（x－1）^2＋4，
∴点P的坐标是（1，4）。

第三个问题：
∵直线PM是由直线AB平移所得到的，∴PM∥AB，∴PM的斜率＝AB的斜率＝3，
∴PM的方程是：y－4＝3（x－1），即：y＝3x＋1，∴可设点M的坐标为（m，3m＋1）。
过M作MC⊥x轴交x轴于C，则OC＝m，MC＝3m＋1，∴AC＝OA＋OC＝1＋m。
∴tan∠OAM＝MC/AM＝（3m＋1）/（1＋m），而tan∠OAM＝3/2，
∴（3m＋1）/（1＋m）＝3/2，∴6m＋2＝3＋3m，∴3m＝1，∴m＝1/3，∴3m＋1＝2。
∴点M的坐标是（1/3，2）。

第四个问题：
由A（－1，0）、P（1，4），得：AP的斜率＝（4－0）/（1＋1）＝2。
∴AP的方程是：y＝2（x＋1），令其中的x＝0，得：y＝2，∴点D的坐标是（0，2）。

令点D关于PM的对称点为E，则显然有：DE∥x轴，∴可设点E的坐标为（t，2）。
很明显，PM与DE的交点坐标为（1，2），且点（1，2）是DE的中点，
∴由中点坐标公式，有：（0＋t）/2＝1，∴t＝2，∴点E的坐标是（2，2）。

过E作PD的垂线，垂足就是满足条件的点N。［后面会给出证明］
∵D在直线AP上，∴PD的斜率＝AP的斜率＝2，∴EN的斜率＝－1/2。
∴EN的方程是：y－2＝－（1/2）（x－2）＝－x/2＋1，即：y＝－x/2＋3。
联立：y＝－x/2＋3、y＝2（x＋1），容易求出：x＝2/5、y＝14/5，
∴点N的坐标为（2/5，14/5）。
∴EN＝√［（2－2/5）^2＋（2－14/5）^2］＝√（64/25＋16/25）＝4√5/5。
∴QD＋QN的最小值为 4√5/5。

下面证明EN＝QD＋QN的最小值。
∵D、E关于PM对称，∴PM是DE的垂直平分线，而Q在PM上，∴QD＝QE。
∴QD＋QN＝QE＋QN。

考查N、Q、E三点的位置：
当Q在线段EN上时，显然有：QE＋QN＝EN。
当点Q不在线段EN上时，N、Q、E就构成一个三角形，此时有：QE＋QN＞EN。
∴要使QD＋QN最小，点Q必须在线段EN上。

再考查点N的位置：
在线段PD上任取点N外的一点F。
则EF就是Rt△EFN的斜边，显然有：EF＞EN。
∴要使QD＋QN最小，点N必须是由E向PD所作垂线的垂足。

综上所述，得：EN＝QD＋QN的最小值，∴QD＋QN的最小值为 4√5/5。

Answer 2

第三问，M应该有两个点，一在X轴上方，一在X轴下方，解法相似，为（-5/9，-2/3）

Answer 3

1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）
（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．解答：解：（1）∵A（-1，0），∴OA=1
∵OB=3OA，∴B（0，3）（1分）
∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2分）
（2）∵二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B（0，3），
∴c=3，a=-1∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3（3分）
∴抛物线y=-x2+2x+3的顶点P（1，4）（4分）

（3）设平移后的直线的解析式为：y=3x+m
∵直线y=3x+m过P（1，4），
∴m=1，
∴平移后的直线为y=3x+1
∵M在直线y=3x+1，且
设M（x，3x+1）
①当点M在x轴上方时，有3x+1x+1=32，
∴x=13，
∴M1(13，2)（5分）
②当点M在x轴下方时，有-3x+1x+1=32，
∴x=-59，
∴M2(-59，-23）（6分）

（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N
∴所求最小值为455（7分）