Question

1.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程 曲线Y=F(x)满足条件F(x)+2∫上限X 下限0F(t)DT=x^2

2 . y'+(1-2x/x^2)y =1 y‖X=1 =2
答案分别是y'+2y=2x和 y=x^2(e^(1/x-1)+1) 求好心人给点步骤 让我看懂 谢谢

Answer 1

1、F(x)+2∫[0--->x]F(t)dt=x² （1）
两边求导得：F'(x)+2F(x)=2x，一阶线性微分方程
将x=0代入(1)得：F(0)=0，这是初始条件

2、一阶线性微分方程，其中P(x)=(1-2x)/x^2，∫P(x)dx=-1/x-2lnx
公式法解微分方程
y=e^(-∫P(x)dx)[∫ e^(∫P(x)dx) dx+C)
=e^(1/x+2lnx)[∫ e^(-1/x-2lnx)dx+C]
=[x²e^(1/x)](∫ e^(-1/x)/x² dx+C)
=[x²e^(1/x)](-∫ e^(-1/x) d(1/x)+C)
=[x²e^(1/x)](e^(-1/x)+C)
=x²+Cx²e^(1/x)
将x=1，y=2代入得：2=1+Ce，解得：C=1/e
因此原微分方程解为：y=x²+(1/e)*x²e^(1/x)=x²+x²e^(1/x-1)

Answer 2

解：
1. dy/dx=x²
dy=x²dx
∫dy=∫x²dx
y=x³/3+c.（其中c是一个不定常数）
2.根据题意，P点的坐标为（P(x,y),Q点的坐标为Q(-x,0).
法线PQ的斜率k=(y-0)/[x-(-x)]=y/2x
因为法线垂直于切线，所以
k·dy/dx=-1
dy/dx=-1/k
dy/dx==2x/y
ydy=2xdx
∫ydy=∫2xdx
y²/2=x²-c/2
2x²-y³=c（其中c是一个不定常数）

Answer 3

一楼根本答非所问