Question

如图,在Rt△ABC中,已知AB=AC,∠A=90°,D为BC上任一点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,M为BC的中点。

（1）试探究ME与MF的关系，并证明。 （2）当点D在BC的延长线上时，（1）中ME与MF的关系是否仍然成立？请说明理由。

Answer 1

(1) 如图,红色部分为辅助线，MF^2=(AC/2)^2+FK^2 ME^2=(AB/2)^2+EH^2
根据相似形原理 DO/BK=MO/MK 因为DO=FK MO=EH BK=MK=AB/2=AC/2
所以，FK/(AB/2)=EH/(AB/2) 推出 FK=EH
推回第一步可得 MF=ME

(2)用同样方法可以得证当点D在BC沿长线上时， MF任然等于ME。

Answer 2

解：
△MEF是等腰直角三角形。证明如下：
连接AM
∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AM=1/2 BC=BM，AM平分∠BAC．
∵∠MAC=∠MAB=1/2 ∠BAC=45°．
∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE∥AB，DF∥AC．
∵∠BAC=90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∴DF=AE．
∵DF⊥BF，∠B=45°．
∴∠BDF=∠B=45°．
∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，
∴AE=BF．
∵AM=BM
∴△AEM≌△BFM（SAS）．
∴EM=FM，∠AME=∠BMF．
∵∠AMF+∠BMF=90°，
∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．