设连续性随机变量X的一切可能值在区间[a,b]内，其密度函数为f(x),证明：(1)a<=E(x)<=b,(2)D(x)<=(b-a)^2/4
1、a≤X≤b，求期望E有保序性，这是个定理，所以E(a)≤E(X)≤E(b)，然后常数的期望当然等于本身，E(a)=a，E(b)=b，所以E(a)≤X≤E(b)。
2、这个需要一个技巧，做变换,Y=(X-a)/(b-a)，Y这个变量是在[0,1]上分布的。
D(X)=D(Y)×(b-a)²=[E(Y²)-E²(Y)]×(b-a)²。
Y≤1所以Y²≤Y所以E(Y²)≤E(Y)所以D(X)≤[E(Y)-E²(Y)]×(b-a)²。
E(Y)-E²(Y)就是a-a²这种,a-a²=a(1-a)用均值不等式a(1-a)≤(a+1-a)²/4=1/4。
所以D(X)≤1/4×(b-a)²=(b-a)²/4就证完了。
扩展资料：
数学期望的来源：
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，分配这100法郎比较公平的方法：用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
①a≤X≤b，求期望E有保序性，这是个定理。所以E(a)≤E(X)≤E(b)，然后常数的期望当然等于本身，E(a)=a，E(b)=b，所以E(a)≤X≤E(b)。
②这个需要一个技巧，做变换，Y=(X-a)/(b-a)，Y这个变量是在[0,1]上分布的，很好理解。
D(X)=D(Y)×(b-a)²=[E(Y²)-E²(Y)]×(b-a)²
Y≤1所以Y²≤Y所以E(Y²)≤E(Y)所以D(X)≤[E(Y)-E²(Y)]×(b-a)²
E(Y)-E²(Y)就是a-a²这种，a-a²=a(1-a)用均值不等式a(1-a)≤(a+1-a)²/4=1/4
所以D(X)≤1/4×(b-a)²=(b-a)²/4就证完了。
这道题条件加强，说了X是个连续型随机变量，可能好证一点，就是期望都可以用积分表示，这样楼主可以试试自己证一下。总之上述过程写上去也是对的。
