Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AA1⊥平面ABC，D，E，F分别为BC，B1C1，A1B1的中点．（1）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AA1⊥平面ABC，D，E，F分别为BC，B1C1，A1B1的中点．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面BEF∥平面DA1C1．

Answer 1

解答：证明：（1）∵△ABC为正三角形，D是BC的中点
∴BC⊥AD，…（1分）
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AA₁ …（3分）
∵AD，AA₁是平面DAA₁内的两条相交直线，
∴BC⊥平面DAA₁ …（5分）
∵A₁D?平面DAA₁
∴BC⊥A₁D …（6分）
（2）∵D，E，F分别为BC，B₁C₁，A₁B₁的中点，
∴EF是△A₁B₁C₁的边A₁C₁的中位线
∴EF∥A₁C₁ …（7分）
∵A₁C₁?平面DA₁C₁，EF?平面DA₁C₁，
∴EF∥平面DA₁C₁，…（8分）
∵EC₁∥BD且EC₁=BD
∴四边形BDC₁E为平行四边形
∴BE∥DC₁ …（9分）
∵DC₁?平面DA₁C₁，BE?平面DA₁C₁，
∴BE∥平面DA₁C₁，…（10分）
∵BE，EF是平面BEF的两条相交直线
∴平面BEF∥平面DA₁C₁ …（12分）