Question

已知函数f（x）=sin（7π6-2x）+2cos2x-1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△

已知函数f（x）=sin（7π6-2x）+2cos2x-1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(A，12)经过函数f（x）的图象，b，a，c成等差数列，且AB?AC=9，求a的值．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=sin(

7π

6

?2x)+2cos2x?1=sin

7π

6

cos2x-cos

7π

6

sin2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
故函数f（x）的周期为T=

2π

2

=π．
再令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（II）在△ABC中，由题意可得f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

．
再由 b，a，c成等差数列，可得2a=b+c，再由

AB

?

AC

＝9 可得 bc?cosA=9，∴bc=18．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc?cosA=（b+c）²-3bc=4a²