已知A是n阶可逆矩阵, 证明ATA为对称矩阵，且当 X≠0时总有XTATAX>0 求高手解答！！急！！
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(ATA)T=AT(AT)T=ATA
所以ATA为对称矩阵
用定义证明：当 X≠0时总有XTATAX>0
令A=(aij) 1<=i<=n 1<=j<=n x=(x1……xn)T
那么AX=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)T
那么(AX)T=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)
所以XTATAX=(AX)TAX
=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)*(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)T
=(a11x1……+a1nxn)^2+……+(an1x1+……annxn)^2>=0
然后若等号成立，那么
a11x1……+a1nxn=0
a21x1……+a2nxn=0
……
an1x1+……annxn=0
也就是AX=0，那么A可逆，所以X=0，与X不等于0矛盾
所以当 X≠0时总有XTATAX>0
所以ATA为对称矩阵
用定义证明：当 X≠0时总有XTATAX>0
令A=(aij) 1<=i<=n 1<=j<=n x=(x1……xn)T
那么AX=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)T
那么(AX)T=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)
所以XTATAX=(AX)TAX
=(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)*(a11x1+a12x2……+a1nxn，……，an1x1+……annxn)T
=(a11x1……+a1nxn)^2+……+(an1x1+……annxn)^2>=0
然后若等号成立，那么
a11x1……+a1nxn=0
a21x1……+a2nxn=0
……
an1x1+……annxn=0
也就是AX=0，那么A可逆，所以X=0，与X不等于0矛盾
所以当 X≠0时总有XTATAX>0
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非常感谢！我还有其他几个问题，能帮我解答么
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可以，hi我
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证明: 因为 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA, 所以A^TA是对称矩阵.
因为A可逆, X≠0, 所以 AX≠0, 即AX是一个非零向量
所以 (AX)^T(AX) > 0. --注: 默认在实数域上
即 X^TA^TAX > 0.
因为A可逆, X≠0, 所以 AX≠0, 即AX是一个非零向量
所以 (AX)^T(AX) > 0. --注: 默认在实数域上
即 X^TA^TAX > 0.
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