Question

如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交DC于点F,连接EF.

1.求证△EGF全等△EDF
2.如果F恰为DC的中点，试说明BC=√2DC
3.如果DC∕DF=t，用t的代数式表示BC∕DC的值

Answer 1

解：(1)证明：由题意知Rt△BAE≌Rt△BGE，且AE=DE，那么GE=AE=DE；

                    ∵在Rt△EGF与Rt△EDF中，GE=DE，且两直角三角形共斜边EF；

                    ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（两直角三角形斜边与其中一条直角边相等推证全等），

                       即△EGF≌△EDF；

       (2)由(1)中全等关系知：BG=AB=DC，DF=GF；

            ∵点F为DC中点，即CF=DF；

            ∴CF=GF=½DC；

            ∴在Rt△BCF中，由勾股定理得BC²+CF²=(BG+GF)²，

                即BC²+(½DC)²=(DC+½DC)²，解得BC=√2DC；

      (3)根据(2)中转化关系，且DC/DF=t，那么同理得：BG=DC，GF=DF=1/t•DC，

           且CF=(1－1/t)•DC；

           由于BC²+CF²=(BG+GF)²，即BC²+[(1－1/t)•DC]²=(DC+1/t•DC)²；

           由上式解得BC/DC=2√t/t（t分之2倍根t）.

.....................................................................

Answer 2

解：(1)证明：由题意知Rt△BAE≌Rt△BGE，且AE=DE，那么GE=AE=DE；

                    ∵在Rt△EGF与Rt△EDF中，GE=DE，且两直角三角形共斜边EF；

                    ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（两直角三角形斜边与其中一条直角边相等推证全等），

                       即△EGF≌△EDF；

       (2)由(1)中全等关系知：BG=AB=DC，DF=GF；

            ∵点F为DC中点，即CF=DF；

            ∴CF=GF=½DC；

            ∴在Rt△BCF中，由勾股定理得BC²+CF²=(BG+GF)²，

                即BC²+(½DC)²=(DC+½DC)²，解得BC=√2DC；

      (3)根据(2)中转化关系，且DC/DF=t，那么同理得：BG=DC，GF=DF=1/t•DC，

           且CF=(1－1/t)•DC；

           由于BC²+CF²=(BG+GF)²，即BC²+[(1－1/t)•DC]²=(DC+1/t•DC)²；

           由上式解得BC/DC=2√t/t（t分之2倍根t）.

.....................................................................

Answer 3

解1)证明：由题意知Rt△BAE≌Rt△BGE，且AE=DE，那么GE=AE=DE； ∵在Rt△EGF与Rt△EDF中，GE=DE，且两直角三角形共斜边EF； ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（两直角三角形斜边与其中一条直角边相等推证全等）， 即△EGF≌△EDF； (2)由(1)中全等关系知：BG=AB=DC，DF=GF； ∵点F为DC中点，即CF=DF； ∴CF=GF=½DC； ∴在Rt△BCF中，由勾股定理得BC²+CF²=(BG+GF)²， 即BC²+(½DC)²=(DC+½DC)²，解得BC=√2DC； (3)根据(2)中转化关系，且DC/DF=t，那么同理得：BG=DC，GF=DF=1/t•DC， 且CF=(1－1/t)•DC； 由于BC²+CF²=(BG+GF)²，即BC²+[(1－1/t)•DC]²=(DC+1/t•DC)²； 由上式解得BC/DC=2√t/t（t分之2倍根t）.

Answer 4

答案