Question

函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对任意非零实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2

函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对任意非零实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）为增函数，求满足f（2x-6）≤2成立的x的取值范围．

Answer 1

（1）在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，
（2）在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），
又由f（1）=0，可得f（-1）=0，
在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=-1，x₂=x，可得f（-x）=f（-1）+f（x），即f（-x）=f（x），
则f（x）为偶函数；
（3）根据题意，对于f（2x-6），有2x-6≠0，则x≠3，
在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=4，可得f（16）=f（4）+f（4）=2，
f（2x-6）≤2?f（2x-6）≤f（16），
又由f（x）在（0，+∞）为增函数，则有|2x-6|≤16，
解可得，-5≤x≤11，又由x≠3，
则x的取值范围是[-5，3）∪（3，11]．