在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：（1）当点E为AB的中点时，
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论...
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______ DB（填“＞”“＜”或“=”）．（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系会改变吗？请说明理由．（3）在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，当△ABC的边长为1，AE=2时，CD的长为多少？
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（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEC=120°，
∴∠DEB=120°-90°=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴BD=BE=AE，即AE=DB．
故答案为：=．
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD=EF=AE，即AE=BD，
（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：
①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=
BC=
，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴
=
，
∴
=
，
∴BN=
，
∴CN=1+
=
，
∴CD=2CN=3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=
BC=
，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴
=
，
∴
=
，
∴MN=1，
∴CN=1-
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEC=120°，
∴∠DEB=120°-90°=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴BD=BE=AE，即AE=DB．
故答案为：=．
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
|
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD=EF=AE，即AE=BD，
（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：
①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴
| AB |
| BE |
| BM |
| BN |
∴
| 1 |
| 2?1 |
| 1 |
| 2 |
∴BN=
| 1 |
| 2 |
∴CN=1+
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴CD=2CN=3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴
| AB |
| AE |
| BM |
| MN |
∴
| 1 |
| 2 |
| ||
| MN |
∴MN=1，
∴CN=1-
