Question

已知函数 ，（1）讨论函数 的单调性；（2）证明：若 ，则对于任意 有 。

已知函数 ，（1）讨论函数 的单调性；（2）证明：若 ，则对于任意 有 。

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Answer 1

（1）a=2时， 在 上单调增加； 时， 在 上单调减少，在 ， 上单调增加； 时， 在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加；                   （2）证明详见解析

试题分析：（1）求导，利用导数分类求单调性；（2）先求导，然后求出单间区间，在进一步证明即可. 试题解析：（1） 的定义域为 ， （i）若 ，即a=2，则 ，故 在 上单调增加。 （ii）若 ，而 ，故 ，则当 时， ； 当 及 时， 。 故 在 上单调减少，在 ， 上单调增加。 （iii）若 ，即 ， 同理可得 在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加。                   （2）考虑函数 ， 则 ， 由于 ，故 ，即 在 上单调增加，从而当 时， 有 ，即 ，故 ； 当 时，有 。