Question

如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BC，A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF为菱形

如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BC，A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF为菱形；（2）求A1C与DE所成的角的余弦值．

Answer 1

解：（1）证明：取AD中点H，连接BH，FH，
易证：FHBB₁为矩形，
因此，FB₁∥BH，且FB₁=BH，．
又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，
∴FB₁∥DE，FB₁=DE，
∴FB₁ED为平行四边形．
又∵FD=DE=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四边形B₁EDF为菱形．
（2）连接AC交DE于点O，
则

AO

OC

=

DO

OE

=

AD

EC

=

2

1

．
过O点作OM∥A₁C交AA₁于点M，
则∠MOD或其补角为DE与A₁C所成的角．
在△MOD中，OD=

2

3

DE=

2

3

×

5

2

a=

5

3

a，
MO=

2

3

A₁C=

2

3

×

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