Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A - C）+cosB=1，a=2c，求C。

2012年全国卷理科第17题。

Answer 1

因为A+B+C=180°，所以cos(A+C)=-cosB，
已知cos(A-C)+cosB=1，则cos(A-C) -cos(A+C)=1，
展开得：cosAcosC+sinAsinC-( cosAcosC-sinAsinC)=1,
即2sinAsinC=1.
因为a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC,
代入上式可得：4( sinC)^2=1,sinC=1/2,
所以C=30°.

追问

才一分钟，就做完了？

Answer 2

B=π-（A+B），cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)
由cos（A - C）+cosB=1得cos(A-C)-cos(A+C)=1
打开整理得2sinAsinC=1
以因为a=2c，由正弦定理sinA=2sinC，所以sinC=1/2。
c边比a边小，∠C一定是锐角。则∠C=30°