Question

一道全等三角形的解答过程

已知：△ABC为等边三角形，M是延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60°角的顶点B在BC上滑动（点E不与B,C重合），三角尺斜边与∠ACM的平分线CF交于点F。
（1）如图一，当点E是BC中点时，
①猜想AE与AF满足的数量关系________；
② BE和CF满足的数量关系_______；
③证明① ② 中的猜想；
（2）如图二，当点E在BC边任意位置时（点E不与B,C重合），求此时AE与AF有怎样的数量关系，并说明理由。

Answer 1

◆本题的难度在于猜题,无图且内容叙述不完整为解答带来了难度.

(1)如左图,当点E是BC中点时:①AE=AF;②BE=CF;

③ 证明:∵AB=AC;BE=CE.

∴AE⊥BC;又∠AED=60°,则:∠CEF=30°;

∵CF是等边⊿ABC外角的平分线.

∴∠FCM=60°,∠CFE=∠FCM-∠CEF=30°.

由∠CEF=∠CFE可知:CE=CF.故BE=CF.(等量代换)

∵CE=CF;AC平分∠ECF.

∴CA垂直平分EF(三线合一),故AE=AF.(线段中垂线的性质)

(2)如右图,当点E在BC上任意位置时,AE=AF.

证明:在AB上截取BG=BE,则AG=CE;连接GE,又∠B=60°.

∴⊿BEG为等边三角形,则∠AGE=120°=∠ECF;

∵∠CEF+∠AEB=180°-∠AED=120°;

   ∠GAE+∠AEB=180°-∠B=120°.

∴∠GAE=∠CEF.

∴⊿GAE≌⊿CEF(ASA),AE=EF;

又∠AEF=60°,故⊿AEF为等边三角形,AE=AF.