Question

如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边

如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn .
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长.

Answer 1

如图：答问。

1，证明 A1B1C1D1是矩形；从略。

2，写出A1B1C1D1的面积为6；A2B2C2D2的面积为3.

3，写出AnBnCnDn的面积为：6（1/2）^(n-1) 

                                         或：6,  3,  1.5， 0.75  ……

4，求出 A5B5C5D5 之周长为：3.5.

Answer 2

（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=
1
2
BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=
1
2
BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=
1
2
BD
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1=
1
2
BD=4，B1A1=
1
2
AC=3，
得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为24×
1
2n
；
（4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则4x•3x=
1
25
×24，
解得x=
1
4
∴4x=1，3x=
3
4
∴矩形A5B5C5D5的周长=2•(1+
3
4
)=
7
2
方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2
即
3
4
：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142
∴矩形A5B5C5D5的周长=
34×112×142
=
7
2 ．