如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,AF//BE,AF垂直EF,AF=EF=0.5BE 5
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因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以∠AEB=45°,
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°,即EF⊥BE
因为BC⊂平面ABCD,BE⊂平面BCE,
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
( II)取BE的中点N,连接CN,MN,则MN= =PC
∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴PM∥平面BCE.
(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连接FH,则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°,∠FAG=45°、
设AB=1,则AE=1,AF= ,则
在Rt△BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ = ,
,
在Rt△FGH中, ,
∴二面角F-BD-A的大小为
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以∠AEB=45°,
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°,即EF⊥BE
因为BC⊂平面ABCD,BE⊂平面BCE,
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
( II)取BE的中点N,连接CN,MN,则MN= =PC
∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴PM∥平面BCE.
(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连接FH,则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°,∠FAG=45°、
设AB=1,则AE=1,AF= ,则
在Rt△BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ = ,
,
在Rt△FGH中, ,
∴二面角F-BD-A的大小为
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