Question

已知函数f(x)=8+2x-x^2,g(x)=f(2-x^2)，试求g(x)的单调区间

不用导函数

Answer 1

g（x）是一个复合函数，内函数是U（x），外函数是f（x）。

要讨论g（x）的单调区间，需要用到复合函数单调性判定法则，即：在同一区间上，内函数与外函数单调性相同的时候，函数单调递增；否则，递减。

第一步和第二步就是判断内函数与外函数的单调性。
现在问题是，根据第二步，.f(x）在(-∞,1]上递增，在[1，+∞）上递减，这里的递增递减是针对其自变量而言的，然后g（x）=f(2-X²),的自变量x与f（x）中的自变量x的取值并不相同。

由第二步中的f（x）的单调性，我们知道，g（x）=f（u），当u在(-∞,1]上取值时，g（x）随u递增而递增；当u在[1，+∞）上取值时，g（x）随u递增而递减。注意，我们这里说的是随着u的变化而变化，因为这单纯利用了f（u）的单调性，跟x暂时无关。

那么第三步就是求，u何时取值在(-∞,1]上，又何时在[1，+∞）上。令u（x）=1,（1是f（x）单调性的节点。）可以解得x=+1或者-1时，u（x）=1.

我们综合起来看: （第四步有一点点问题，应该是当x在(-∞,-1]时，。。。）
当x在(-∞,-1]时，U（x）=2-X²递增 （由于第一步的讨论，(-∞,-1]包含在(-∞,0]中）
并且当x在此区间上时，u（x）值域为(-∞,1] （u（x）递增，最大值在-1时取得，而x趋近于-∞
时，u（x）趋近于-∞，故其值域为(-∞,1]）。
显然f（u）在u属于(-∞,1]上随u递增而递增。

那么仔细想想，x在(-∞,-1]时，如果x递增，那么U（x）=2-X²显然递增，（并且此时u（x）在(-∞,1]上取值），u递增，显然f（u）也递增，即g（x）=f（u）随着x递增而递增，也就是说g（x）在(-∞,-1]上递增。

同样道理，当x在[1,∞)上时，u（x）递减，
并且u（x）值域为(-∞,1] （u（x）递减，最大值在x=1时取得）
而f（u）在u属于(-∞,1]时，随着u递增而递增，随着u递减而递减。 （f（u）在该区间上是增函数）
这样x在[1,∞)上时，若x递增，则u递减，g（x）=f（u）递减。g（x）随x递增而递减，表明g（x）在[1,∞)上为减函数。

现在剩下（-1,1）这个区间了。可以看到u（x）在该区间上单调性并不一致，所以分开来讨论，
分为（-1,0]和（0,1）。
我们首先应该看到，在x属于（-1,1）时，u（x）值域为（1，2]。而在这一区间上，f（u）是单调的，单调减函数。这是外函数的单调性。
内函数u（x）在（-1,0]上递增，在（0,1）上递减。
由复合函数单调性法则，g（x）=f（u）在x属于（-1,0]上递减。 （内函数递增，外函数递减）
g（x）=f（u）在x属于（0,1）上递增。 （内函数递减，外函数递减）

当然，前面的分析也都是基于单调性法则的，也可以说是对单调性法则的剖析。前面我说的那么详细，只是为了便于你理解，其实质就是单调性法则。
这里我们也可以用前面的分析方法来思考。
当x属于 （-1,0]时，若x递增，则u（x）递增，且u（x）取值包含于f的单调减区间[1，+∞）中，故f（u）随u递增而递减，从而g(x)=f（u）随x递增而递减。
x属于（0,1）的分析就不再说了，是一样的。

综合上述，g（x）在(-∞,-1]上为增函数，在（-1,0]上为减函数，在（0,1）上为增函数，在[1,∞)上为减函数。
当然，最终作结这样下结论不好，最好这样写：
g（x）单调增区间为(-∞,-1]和（0,1），单调减区间有（-1,0]和[1,∞)。
或者类似于第五步那样写。

Answer 2

不求导也行，，令x^2=t. g(t)=-t^2+2t+8 所以增【1.正无穷】减【负无穷。1】

Answer 3

不求导也行，，令x^2=t. g(t)=-t^2+2t+8 所以增【1.正无穷】减【负无穷。1】

Answer 4

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