Question

高二数学归纳法一题

已知函数f(x)=2/2-x,记数列{a}的前n项和为Sn,且有a1=f(1),当n>=2时，Sn-2/f(an)=1/2(n2+5n-2)

1）计算a1 a2 a3 a4;
2）猜想数列{an}的通项公式

Answer 1

1）。令N=1
、Sn-2/f(an)=1/2(n2+5n-2)没看懂其中的n2这个。a1=1、。

追问

n的平方

追答

a1=2.刚写错了

追问

然后a2怎么求…

追答

a1=2.刚写错了。a2=3.a3=4.a4=5

追问

过程怎么求TAT 能写两道题的完整过程吗= =

追答

∵Sn=a1+a2+a3+.......................an∴ai+a2-2/f(a2)=1/2(2^2+5×2-2)又f(x)=2/2-x,把x换成a2.所以解得a2=3.同理、解a3。就把S3=a1+a2+a3、x换成a3.a4的话一样的S4=a1+a2+a3+a4X换成a4.应为第二题是猜想。所以就直接是用不完全归纳法。公式是an=a1+(n-1)d。所以an=2+（n-1）×1.d=a（n+1)-an。得an=n+1

Answer 2

1）解：S1 = a1= f(1) = 2/(2-1) = 2
n≥2时 ，
Sn - 2/f(an) = (1/2)*(n²+5n-2)
把f(x)=2/2-x 代入化简得
Sn+an = (n²+5n+2)/2………………………………………………①
同理有， S<n-1> + a<n-1> = [(n-1)²+5(n-1)+2]/2…………………………②

①式－②式，化简得
an = a<n-1> + n+2 （其中n≥3）…………………………………（*）
n=2时，代入① S2 + a2 = 2 +2a2 = (2²+5*2+2)/2， 则有
a2 = (2²+5*2+2)/4 - 1
= (2 + 5 - 1)/2 = (2² + 5*2 - 8)/2 = 3
n=3时，代入（*）
a3 = (2² + 5*2 - 8)/2 + (3+2)
= (3² + 5*3 - 8 - 10)/2 + 5 = (3² + 5*3 - 8)/2 = 8
n=4时，代入（*）
a4 = (3² + 5*3 - 8)/2 + (4+2)
= (4² + 5*4 - 8 - 12)/2 + 6 = (4² + 5*4 - 8)/2 = 14

2）由此猜想，当n=k时，ak = (k² + 5k - 8)/2 ，其中k∈N+，且k ≥ 2
当n = k+1 时， 代入（*）式，得
a<k+1> = ak + k+1 + 2 = (k² + 5k - 8)/2 + k+3
= 【(k+1)² + 5(k+1) - 8 － (2k+1+5)】/2 ＋ (k+3)
= 【(k+1)² + 5(k+1) - 8】/2
即，当n = k+1时，原猜想也成立。
故可证，对于任意 n∈N+且n ≥ 2 ，等式an = (n² + 5n - 8)/2
综上所述，数列{an}的通项公式为
2 （n=1时）
an =
(n² + 5n - 8)/2 （n ≥ 2时）