Question

如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F。

求证：△CEF为等边三角形。

Answer 1

证明:∵△ACM,△CBN是等边三角形
∴CM=CA CN=CB
∠MCA=∠NCB=60°
∴∠MCA+∠ACB=∠NCB+∠ACB
即∠MCB=∠ACN
在△BCM和△NCA中
{CB=CN
{∠BCM=∠NCA
{CM=CA
△BCM≌△NCA（SAS）
∴BM=NA
2）：∵△ACM，△CBN是等边三角形
∴AC=CA,AN=BM,∠MCA=∠NCB=60
∴∠MCN=180-∠MCA-∠NCB=180-60-60=60
∴∠ACN=∠MCB=120
∴△ACN≌△MCB
∴∠NAC=∠BMC
∴△ACE≌△MCF
∴CE=CF
∴△CEF为正三角形

Answer 2

把⊿MCB绕C点逆时针旋转60°。到达⊿ACN.∴AN=MB.
同理，注意∠MCN＝60°.把⊿FCB绕C点逆时针旋转60°。应该到达⊿ECN.
∴CE=CF.从而⊿ECF为等边三角形。