Question

判断函数在x=0处的连续性和可导性！

x!=0时：y=x^2sin(1/x);
x=0时：y=0；
判断此分段函数在x=0处的连续性和可导性。

Answer 1

连续性：
对任意的小量t>0，存在s>0，s<t^0.5，当|x|<s时，我们有
|x^2sin(1/x)|<=x^2<s^2<t。
因此，此函数在x=0连续。

可导性：即证明左导数=右导数。
左导数：
y'(0)-
= lim{x→0-} (y(x)-y(0))/(x-0)
= lim{x→0-} x^2sin(1/x)/x
= lim{x→0-} x*sin(1/x)
= 0；
右导数：
y'(0)+
= lim{x→0+} (y(x)-y(0))/(x-0)
= lim{x→0+} x^2sin(1/x)/x
= lim{x→0+} x*sin(1/x)
= 0。
因此该函数可导。

Answer 2

楼上太"本质"了吧 用定义也不能着么用啊
x 趋于0 y也趋于零(有界量乘以无穷小量)
故连续
不用分左右导数,直接求lim{x→0} (y(x)-y(0))/(x-0)
等于0 ,故可导

Answer 3

连不连续就看极限和函数值关系。x趋近于0，xsin(1/x)会趋近于0的，因为-1≤sin(1/x)≤1，所以x>0时0≤xsin(1/x)≤x，x、0在x趋近于0+的时候都是0，由夹逼原理可知x→0+时xsin(1/x)极限是0。完全类似可以证x<0的时候极限x→0-也是0。所以在0这一点x左右极限相等，均等于函数值0，所以连续。
看可不可导就列出定义式。f'(0)=[f(△x+0)-f(0)]/[△x-0](△x→0)=sin(1/△x)(△x→0)
显然(△x→0)时候sin(1/△x)值不定，可以在[-1,1]之间震荡，越来越快，所以没有极限，也就是导数不存在，这一点不可导。