Question

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=2,且当n≥2时,an=a（n-1）+2根号下(a（n-1）)+1

1）求证{根号an}是等差数列，2）求an
n和n-1均为下角标

Answer 1

1.
证：
n≥2时，
an=a(n-1)+2√a(n-1) +1=[√a(n-1)+1]²
√an=√a(n-1)+1
√an-√a(n-1)=1，为定值。
√a1=√2
数列{√an}是以√2为首项，1为公差的等差数列。
2.
解：
√an =√2 +(n-1)=n+√2-1
an=(n+√2-1)²=n²+2n(√2-1)+3-2√2=(n²-2n+3)+2(n-1)√2
n=1时，a1=(1-2+3)+0=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(n²-2n+3)+2(n-1)√2

Answer 2

证明：
当n≥2，an=[√a(n-1)+1]^2
√an-√a(n-1)=√a(n-1)+1-√a(n-1)=1
且a1=2
故{√an}是等差数列
解：
由上述证明可知：√an=√2+(n-1)
an=[√2+n-1]^2=n^2+2(√2-1)n+3-2√2