Question

刘老师，请教线性代数问题

已知A=（a1，a2，a3，a4）是4阶矩阵，a1，a2，a3，a4是4维列向量，若方程组Ax=b的通解是（1,2,2,1）T+k（1，-2,4,0）T，又B=（a3，a2，a1，b-a4），求方程组Bx=a1-a2的通解。
像这种抽象的方程组求解一般想到的是求出Bx=a1-a2的一个解，然后再求Bx=0的基础解系，但是实在是求不出B的秩，所以想请教一下刘老师

Answer 1

特解（1,2,2,1）^T代入AX=b得到a1+2a2+2a3+a4=b（1）
通解（1，-2,4,0）^T代入AX=0得到a1-2a2+4a3=0（2）
Ax=b的基础解系是1维的，所以A的秩是3，
（a1，a2，a3，a4）线性相关且秩为3，再根据（2）式则知道a1，a2，a3两两必定线性无关,，否则A的秩就是2了，
B=（a3，a2，a1，b-a4），
根据（1）（2）发现a1，与b-a4可以有a3，a2线性表示，
而a3，a2线性无关，是一个极大无关组，因此B的秩就是2了

Answer 2

Ax=b的基础解系是1维的，所以A的秩必然是3.这个可以理解吧？
而增广矩阵A：b的秩肯定也是3，把基础解系任取一个k值并把a1a2a3a4带进Ax=b，发现b-a4可以被a1，a2，a3线性表出。，秩为3

追问

题目给的答案是r（B）=2

Answer 3

这些问题我来替刘老师回答吧

1. 大多数时候讨论正定, 合同会针对实对称矩阵(或者Hermite矩阵), 因为这些变换和性质主要为讨论二次型服务, 而二次型的表示矩阵通常选成对称的

但是一般来讲不要默认这一点, 因为矩阵论中有专门研究非对称矩阵的合同变换以及非对称正定矩阵的分支, 所以任何情况下都要先讲清楚矩阵是否有对称性(或共轭对称性)

2. 对于实对称矩阵而言, 相似可以推出合同, 但反过来不行
合同不能推出相似是显然的, 因为A和4A合同, 但除非是零矩阵, 否则一定不相似
相似推合同则需要谱分解定理, 两个实对称矩阵相似则必定正交相似, 而正交相似变换既是相似变换也是合同变换, 从而推出合同

3. 既然是合同规范型, 也就是"在合同变换下的标准形式", 自然是一定存在相应的合同变换的
至于合同变换的求法, 只要掌握普通的Gauss消去法就行了

对于对称矩阵, Gauss消去法的矩阵形式是PAP^T=LDL^T, 其中P是排列阵, L是下三角阵, D是对角块不超过2阶的块对角阵, 也就是说用Gauss变换逐步将A化到块对角形, 其中可能会适当做一些行列重排. 最后再将块对角阵D合同变换到标准形式即可
找两个四五阶的例子动手算一遍就会了, 一般的教材里都有