Question

设函数f（x）=x 2 +2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；

设函数f（x）=x 2 +2bx+c，c＜b＜1，f（1）=0且方程f（x）+1=0有实数根．（1）证明：-3＜c≤-1，且b≥0；（2）若m是方程f（x）+1=0的一个实数根，判断f（m-4）的符号，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵f（1）=0，∴1+2b+c=0； ∴b=- c+1 2 ． 又c＜b＜1， 故c＜- c+1 2 ＜1．即-3＜c＜- 1 3 ． 又f（x）+1=0有实数根． 即x 2 +2bx+c+1=0有实数根． ∴△=4b 2 -4（c+1）≥0； 即（c+1） 2 -4（c+1）≥0； ∴c≥3或c≤-1； 又-3＜c＜- 1 3 ，取交集得-3＜c≤-1， 由b=- c+1 2 知b≥0． （2）f（x）=x 2 +2bx+c =x 2 -（c+1）x+c =（x-c）（x-1）． ∴函数f（x）=x 2 +2bx+c的图象与x轴交于A（c，0）、B（1，0）两点； ∵f（m）=-1＜0，∴c＜m＜1； ∴c-4＜m-4＜1-4＜c； ∴m-4＜c． ∵f（x）=x 2 +2bx+c在（-∞，c）上递减， ∴f（m-4）＞f（c）=0． ∴f（m-4）的符号为正．