Question

一道高中数学题 在线等

已知整数集合M={m|x^2+mx-36=0有整数解}，集合A满足条件：①∅真包含于A包含于M；②若a∈A，则-a属于A。那么这样的集合A的个数为（ ）。
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
求答案和解答。

Answer 1

解答：
x²+mx-36=0有整数解
则设两个整数解为x1,x2
则 x1*x2=-36
所以，有以下情形
(1)两个根是1，-36， m=35
(2)两个根是2，-18， m=16
(3)两个根是3，-12， m=9
(4)两个根是4，-9， m=-5
(5)两个根是6，-6， m=0
(6)两个根是9，-4， m=-5
(7)两个根是12，-3， m=-9
(8)两个根是18，-2， m=-16
(9)两个根是36，-1， m=-35
按照题目要求，A中元素35,-35; 16,-16; 9,-9; 5,-5, 0成对出现
相等于求5个元素的集合的非空子集
有 2^5-1=31个
选C

Answer 2

C

Answer 3

C

追问

能讲讲为什么吗，一直不太懂

Answer 4

解析：关于x的方程x^2+mx-36=0有整数解，由一元二次方程根与系数的关系，两个根的绝对值均为36的因数。
若此方程的两个根为
4，-9，则m=5
以此类推，m共有5，-5，16，-16，35，-35，9，-9，0共9个可能的值
由条件①，得集合A非空
由条件②，可将一对相反数，例如5，-5视为一个整体元素考虑，0单独作为一个元素考虑。
所以，此题实际是要【求将M的元素取绝对值后得到的新集合除本身外的非空子集】，故满足条件的集合共有：2^5-1=31个，故应选C

Answer 5

选A。有分分解因式可得，m可取值为35（36分解为-1和36，下面同理可得），-35，16，-16，9，-9，5，-5，0。有条件可知A不是空集，A中的元素只能从M中取五组相反数中的几组，即A的个数为2^4-1=15。