Question

求函数y=√(x^2-6x+13) -√(x^2+4x+5)值域

这是图

Answer 1

y=√(x^2-6x+13) -√(x^2+4x+5)
=√[(x-3)^2+2^2] -√[(x+2)^2+1]
可以看成(x，0)到(3,2)和(-2,1)两点的距离之差
由三角形两边之差小于第三边知最大值是(3,2)和(-2,1)两点的距离
也就是√26，此时易求出x=-7

由于y=√(x^2-6x+13) -√(x^2+4x+5)
=(x^2-6x+13-x^2-4x-5)/[√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5)]
=(-10x+8)/[√(x^2-6x+13) +√(x^2+4x+5)]
所以当x>4/5,y都取负值，且在（4/5,正无穷）单调递减
所以y(min)=lim(x→正无穷)(-10x+8)/[√(x^2-6x+13) +√(x^2+4x+5)]
=lim(x→正无穷)(-10+8/x)/[√(1-6/x+13/x^2) +√(1+4/x+5/x^2)]
=-10/2=-5
所以值域是（-5，√26]

Answer 2

1/y=(√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5))/((x^2-6x+13)-(x^2+4x+5))
=(√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5))/(8-10x)
当8-10x=0时，√(x^2-6x+13)=√(x^2+4x+5)，此时y=0
当8-10x＞0，即x＜4/5时，x^2-6x+13＞x^2+4x+5，此时
1/y=(√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5))/(8-10x)
=√(x^2-6x+13)/(8-10x)^2+√(x^2+4x+5))/(8-10x)^2
当x→-∞时，1/y→1/5，即y→5
当8-10x＜0，即x＞4/5时，x^2-6x+13＜x^2+4x+5，此时
1/y=(√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5))/(8-10x)
=-[√(x^2-6x+13)/(8-10x)^2+√(x^2+4x+5))/(8-10x)^2]
当x→+∞时，1/y→-1/5，即y→-5
∴函数y=√(x^2-6x+13) -√(x^2+4x+5)值域为(-5,5)

追问

1/y=(√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5))/(8-10x)
=√(x^2-6x+13)/(8-10x)^2+√(x^2+4x+5))/(8-10x)^2
请问这一步的分母怎么出平方了，是整体根号下吗？

Answer 3

﹣√26＜y≤√26