Question

设a,b,c为正实数，且a+b+c≥abc。证明：a²+b²+c²≥abc

Answer 1

解：因为a+b+c≥abc且a,b,c为正实数，所以（a+b+c)*a≥a^2*bc---------(1),同样得：（a+b+c)*b≥ab^2*c---------(2),（a+b+c)*c≥abc^2---------(3),(1)+(2)+(3)得:(a+b+c)^2≥a^2*bc+ab^2*c+abc^2----------(4).
又：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0,展开得：a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca-----------(5)
又：(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2*(ab+bc+ca)---------------(6)
又：ab(c-1)^2+ac(b-1)^2+bc(a-1)^2≥0,展开得：abc^2-2abc+ab+ab^2*c-2abc+ac+a^2*bc-2abc+bc≥0,移项得：(a^2*bc+ab^2*c+abc^2)+(ab+bc+ca)≥6abc----------(7),将（4）代入（7）得:(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)≥6abc----------(8)，将（6）代入（8）得：(a^2+b^2+c^2）+3(ab+bc+ca)≥6abc----------(9)，将（5）代入（9）得：4*(a^2+b^2+c^2)≥6abc，(a^2+b^2+c^2)≥1.5*abc,所以:a^2+b^2+c^2≥abc
解题完毕。

Answer 2

因为a+b+c≥abc
所以（a+b+c)^2≥abc
（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ab
又因为abc是正实数，所以a²+b²+c²≥abc

Answer 3

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