Question

已知根号x，[根号f(x)]/2,根号3（x大于等于0）成等差数列。又数列｛an｝(an>0)中，a1=3,此数列前n项和Sn对

所有大于1的正整数n都有Sn=f(S[n-1]),1.求数列｛an｝的第n+1项 2.若根号bn是1/a(n+1),1/an的等比中项，求数列｛bn｝的前n项和Tn

Answer 1

解：
1.
√x、√f(x) /2、√3成等差数列，则
2√f(x) /2=√x+√3
√f(x)=√x+√3
f(x)=x+2√(3x) +3
n≥2时，Sn=S(n-1)+2√[3S(n-1)] +3
Sn-S(n-1)-3=2√[3S(n-1)]
an-3=2√[3S(n-1)]
12S(n-1)=(an-3)²
12Sn=[a(n+1)-3]²
12Sn-12S(n-1)=12an=[a(n+1)-3]²-[an-3]²=a(n+1)²-6a(n+1)-an²+6an
a(n+1)²-an²-6a(n+1)-6an=0
[a(n+1)+an][a(n+1)-an]-6[a(n+1)+an]=0
[a(n+1)+an][a(n+1)-an-6]=0
an>0，a(n+1)+an恒>0，要等式成立，只有a(n+1)-an=6，为定值。
S2=S1+2√(3S1) +3
a1+a2=a1+2√(3a1)+3
a2=3+2√3
数列{an}从第2项起，是以3+2√3为首项，6为公差的等差数列。
n≥2时，a(n+1)=a2+6(n-1)=6n+2√3 -3，n=1时，a2=3+√3，同样满足。
a(n+1)=6n+2√3 -3

2.
√bn是1/a(n+1)，1/an的等比数列，则
(√bn)²=[1/a(n+1)][1/an]
bn=1/[ana(n+1)]
n=1时，b1=1/(a1a2)=1/[1×(3+2√3)]=3-2√3
n≥2时，
bn=1/[ana(n+1)]=1/[(6n+2√3-9)(6n+2√3-3)]=(1/6)[1/[6(n-1)+2√3-3]- 1/[6n+2√3-3]]
n=1时，T1=b1=3-2√3
n≥2时，
Tn=b1+b2+...+bn
=3-2√3+(1/6)[1/(6×1+2√3-3)-1/[6×2+2√3-3]+1/[6×2+2√3-3]-1/[6×3+2√3-3]+...+1/[6(n-1)+2√3-3]-1/[6n+2√3-3]]
=3-2√3+(1/6)[1/(3+2√3) -1/[6n+2√3-3]]
=3-2√3+(1/6)[(3-2√3)-1/[6n+2√3-3]]
=(7/6)(3-2√3) -1/[6(6n+2√3-3)]

Answer 2

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