Question

对于定义在R上的函数f(x).给出四个命题，求正确的命题序号(详细的分析过程，谢谢)

①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A (1,0)对称；②若对全体实数x，有f(x+1)=f(x-1),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;④函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称 求详细分析过程

Answer 1

①③④正确
①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A (1,0)对称；√
f(x)是奇函数，f(x)图像关于原点对称
将f(x)图像向右平移1个单位得到f(x-1），图像关于(1,0)对称

②若对全体实数x，有f(x+1)=f(x-1),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称；×
f(x+1)=f(x-1)==>f(x+2)=f(x) ==> f(x)是周期函数
（x换x+1)

③若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数; √

函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,那么
f(x-1)=f(2-x-1)=f(1-x)
令x-1=t,则f(t)=f(-t)
∴f(x)是偶函数

④函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称√
f(1+x)关于x=1的对称函数为 f(2-x+1)=f(1-x)
(将x换成2-x即得到 关于x=1的对称函数）

追问

请问在命题③中，为什么当函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，就有f(x-1)=f(2-x-1)呢？看不明白

追答

任何函数y=g(x)关于x=a对称，则满足g(x)=g(2a-x)
即将原解析式中的x换成2a-x解析式不变

本题将f(x-1)中的x换成2-x 解析式不变
即是f(x-1)=f(2-x-1)

Answer 2

（1）正确。f(x-1)相当于将f(x)右移一个单位，那自然对称点也右移一个单位，从(0,0)到(1,0)。
（2）错误。f(x)关于x=1对称，相当于“距离x=1相同的点函数值相同”，即f(1+x)=f(1-x)。（这两个点到x=1距离均为x）。反例自己举吧。
（3）正确。由f(x-1)关于x=1对称，f((1+x)-1)=f((1-x)-1)，（其中自变量是1+x,1-x，这两个点到x=1距离显然相等）即f(x)=f(-x)。偶函数。
（4）错误。对于点(x,f(1+x))在第一个函数图像上，其关于x=1的对称点为(2-x,f(1-x))。对于这个点，令t=2-x，则这个点是(t,f(3-x))，不在第二个函数上。