设直线L：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a>0）相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点
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证明：将y=k(x+1)代入椭圆x^2+3y^2=a^2得
x^2+3k^2(x+1)^2=a^2
即(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0
因为直线L：y=k(x+1)与椭圆x^2+3y^2=a^2相交于A，B两个不同的点，
所以方程(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0有两个不同的根，
即△>0.
于是(6k^2)^2-4(1+3k^2)(3k^2-a^2)>0，
得36k^4-12k^2+4a^2-36k^4+12k^2a^2>0，
-12k^2+4a^2+12k^2a^2>0，
-3k^2+a^2+3k^2a^2>0，
a^2+3k^2a^2>3k^2 ，
(1+3k^2)a^2> 3k^2 ，
即 a^2> (3k^2)/(1+3k^2) .
x^2+3k^2(x+1)^2=a^2
即(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0
因为直线L：y=k(x+1)与椭圆x^2+3y^2=a^2相交于A，B两个不同的点，
所以方程(1+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0有两个不同的根，
即△>0.
于是(6k^2)^2-4(1+3k^2)(3k^2-a^2)>0，
得36k^4-12k^2+4a^2-36k^4+12k^2a^2>0，
-12k^2+4a^2+12k^2a^2>0，
-3k^2+a^2+3k^2a^2>0，
a^2+3k^2a^2>3k^2 ，
(1+3k^2)a^2> 3k^2 ，
即 a^2> (3k^2)/(1+3k^2) .
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