Question

设m为整数，且关于x的方程mx2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 请用韦达定理，谢谢，感激！！！

Answer 1

设m为整数，且关于x的方程mx2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 -4，4，-16-4，4，-16．考点：一元二次方程的解．分析：分两种情况进行讨论：①一元一次方程时，m=0，方程无整数解；②一元二次方程时，△≥0，且根为整数，求出m的值即可．解答：解：∵关于x的方程mx2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，
∴△=4（m-5）2-4m（m-4）≥0，
∴m≤25/6，
∵-2(m-5)/m与m-4/m为整数，
∴m=±1，±2．
（1）若m=0，方程为-10x-4=0，x=2/5根不是整数；
（2）m≠0时，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5）2-4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0，
∴m≤25/6，
方程的根为x=-2(m-5)±
4(m-5)2-4m(m-4)/2m=5-m±
/25-6m/m
∵方程有整根，
∴25-6m一定是个平方数，而且满足m≤25/6，
∴设25-6m=k2（k＞0且k为整数），则m=25-k2/6=(5-k)(5+k)/6
∴方程根为5/m-1±k/m=/
5±k/m-1，
将m=25-k2/6代入得，6(5±k)/(5-k)(5+k)-1，
∴方程两个根可以写成x1=6/5-k-1，x2=6/5+k-1，
若x1是整数，
∴只有当k=2，3，4，6，7，8，11时，
6/5-k为整数．其对应的m分别为21/6，16/6，6/9，-4，39/6，-16，
若x2是整数，则只有当k=1时，6/5+k为整数，
对应的m=4．其中m是整数的只有m=-4，4，-16．
∴m的值为-4，4，-16．点评：本题考查了方程的特殊解，此题难度较大．

Answer 2

方程变形为 m=(10x+4)/(x^2+2x+1) ，
因为 m 为整数，且 x 也为整数，因此由 x^2+2x+1=(x+1)^2 能整除 10x+4=10(x+1)-6 可得
x+1 能整除 6 。
1）x= -7 ，则 m= -11/6 不是整数；
2）x= -4 ，则 m= -4 是整数，满足；
3）x= -3 ，则 m= -13/2 不是整数；
4）x= -2 ，则 m= -16 是整数，满足；
5）x= 0 ，则 m=4 是整数，满足；
6）x=1 ，则 m=7/2 不是整数；
7）x=2 ，则 m=8/3 不是整数；
8）x=5 ，则 m=3/2 不是整数；
综上，m 的值为 -4 或 -16 或 4 。