Question

已知f(x)=2+log3x,x属于[1,9]，求y=[f(x)]^2+f(x^2)最大值及相应的x值

我不懂为什么x^2的定义域是[1,9]，题目里明明说的是x属于[1,9]啊，怎么这里一推算就变成x属于[1,3]了呢？
如果这道题这么算，是不是以后定义域都指的是整个括号里的啊，比如sin（2x+∏/3)的时候是不是定义域指的就不是x了，而是整个括号里的值了啊？

实在是迷茫啊……

Answer 1

f(x)的定义域是[1，9]，指的是：
【在f(x)中，x的范围是：[1，9]】
所以，在f(x²)中，应该是：x²在[1，9]
即：
f(x²)中，x∈[－3，－1]∪[1，3]
考虑到本题中出现了f(x)及f(x²)，则函数y=[f(x)]²＋f(x²)的定义域应该是[1，9]与[－3，－1]∪[1，3]的交集，是[1，3]

【本题中，最容易错的就是定义域。方法是采用换元法，可以设：log(3)[x]=t，则：t∈[0，1]】

追问

那这么说的话，在sin的函数中，比如sin（2x+∏/3)的时候是不是定义域指的就不是x了，而是整个括号里的值了啊？

追答

函数定义域指的都是x的范围，不管是在什么样的情况下。
对于sin(2x＋π/3)，由于函数y=sinx的定义域是R，那就应该是2x＋π/3∈R，求出的x的范围就是这个函数的定义域，当然还是R。

追问

如果我的sin(2x＋π/3)，有一个自己的定义域，那这个定义域到底是指x的定义域还是指整体的定义域，如果是指x的，那不是与上面那道题冲突了么？

追答

【1】
若sin(2x＋π/3)的定义域是[0，π/2]，其意思就是：
sin(2x＋π/3)中，x∈[0，π/2]

Answer 2

定义域是指x的取值范围，x属于[1,9]，x^2的定义域是[1,9]，而x属于[1,3]或[-3，-1]，取交集就是[1,3]

Answer 3

因为 y=log32x+6log3x+6
=（log3+3）2-3（1≤x≤3），
又 0≤log3x≤1，
所以当log3x=0，
即x=1时，
ymin=6；
当log3x=1，
即x=3时，
ymax=13．

Answer 4

f(x^2)=2+log3x^2=2+2log3x
y=[f(x)]^2+f(x^2)=(2+log3x)^2+2+2log3x=4+6log3x+(log3x)^2=(log3x+3)^2-5
log3x=-3 , y=-5最小值（舍去）， y=20最大值 ， x=9