Question

如图已知在△ABC中，∠A=90°，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，AB=6，AC=8，设BD为x，矩形DEFG面积为y

（1）写出y关于x的解析式
（2）当x取何值时，EG∥BA
完整过程追加高分谢谢

Answer 1

解:(1)BC=√(AB^2+AC^2)=10.作AH垂直BC于H,交DG于M.
由面积关系可知:AB*AC=BC*AH,即6*8=10*AH,AH=24/5.
∵DE∥AH.
∴⊿BDE∽⊿BAH,DE/AH=BD/BA,DE/(24/5)=X/6,DE=(4/5)X.
同理:⊿ADG∽⊿ABC,则:AM/AH=DG/BC(相似三角形对应高的比等于相似比)
即(24/5-MH)/AH=DG/10,[24/5-(4/5X)]/(24/5)=DG/10,DG=10-(5/3)X.
∴y=DE*DG=(4/5)X·[10-(5/3)X]=(-4/3)X²+8X.
(2)EG∥BA时,则:∠GED=∠BDE;
又∠BDE=∠C(均为∠B的余角).
∴∠GED=∠C,tan∠GED=tan∠C.
即DG/DE=AB/AC,[10-(5/3)X]/[(4/5)X]=6/8, X=75/17.
答:当X=75/17时,EG∥BA.

Answer 2

(1)BC=√(AB^2+AC^2)=10.作AH垂直BC于H,交DG于M.
由面积关系可知:AB*AC=BC*AH,即6*8=10*AH,AH=24/5.
∵DE∥AH.
∴⊿BDE∽⊿BAH,DE/AH=BD/BA,DE/(24/5)=X/6,DE=(4/5)X.
同理:⊿ADG∽⊿ABC,则:AM/AH=DG/BC(相似三角形对应高的比等于相似比)
即(24/5-MH)/AH=DG/10,[24/5-(4/5X)]/(24/5)=DG/10,DG=10-(5/3)X.
∴y=DE*DG=(4/5)X·[10-(5/3)X]=(-4/3)X²+8X.

Answer 3

过A点作AH垂直于BC，交BC于点H
∵四边形DGEF为矩形
∴DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
∴DG/BC=AD/AB
DG=BCXAD/AB
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8
∴BC=10
所以DG=5(6-x)/3
∵DE⊥BC,AH⊥BC
∴△DBE∽△ABH
在Rt△ABH中，AB=6，BH=18/5
∴AH=24/5
∴DE=4x/5
∴y=4x/5*5(6-x)/3=4x(6-x)/3

要使GE∥AB
即要使△CGE∽△CAB
此时CG/CA=GE/AB
∵DG∥BC
GC/AC=DB/AB=x/6
GE=DB=X=x
解得x=75/17
即当x=75/17时GE∥AB