已知函数f(x)=x+a/x,g(x)=a-2x 若不等式f(x)大于等于g(x)在 [1,正无穷]恒成立，试求实数a的取值范围。
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已知函数f(x)=x+(a/x)，g(x)=a-2x 若不等式f(x)≧g(x)在 [1，+∞)恒成立，试求实数a的取值范围。
解：为使x+(a/x)≧a-2x，即 3x+(a/x)-a=(3x²-ax+a)/x≧0对1≦x<+∞恒成立，也就是要使不等式
3x²-ax+a≧0对1≦x<+∞恒成立(因为x≧1，故可去掉分母).
3x²-ax+a=3[x²-(a/3)x]+a=3[(x-a/6)²-a²/36]+a=3(x-a/6)²-a²/12+a≧0
当对称轴x=a/6在区间[1，+∞)内，即a/6≧1，a≧6时，只需-a²/12+a≧0，即a²-12a=a(a-12)≦0，于是得0≦a≦12；故{a≧6}∩{0≦a≦12}={6≦a≦12}为解；
解：为使x+(a/x)≧a-2x，即 3x+(a/x)-a=(3x²-ax+a)/x≧0对1≦x<+∞恒成立，也就是要使不等式
3x²-ax+a≧0对1≦x<+∞恒成立(因为x≧1，故可去掉分母).
3x²-ax+a=3[x²-(a/3)x]+a=3[(x-a/6)²-a²/36]+a=3(x-a/6)²-a²/12+a≧0
当对称轴x=a/6在区间[1，+∞)内，即a/6≧1，a≧6时，只需-a²/12+a≧0，即a²-12a=a(a-12)≦0，于是得0≦a≦12；故{a≧6}∩{0≦a≦12}={6≦a≦12}为解；
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