Question

求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（提示：做出以这条变为直径的圆。）

Answer 1

假设：AB上的中线为OC。

 

以O为圆点，OC为半径做圆，则AB为过圆心O的直径。

连接AC、BC，∠ACB为直径所对的圆周角，显然为直角。

即，三角形ABC为直角三角形。

 

重点在于，∠ACB为直径所对的圆周角。

Answer 2

如图：AD是BC边的中线，且AD=BD=DC

∵AD=BD

∴∠ABD=∠DAB

同理：

∴∠ACD=∠DAC

∵在三角形ABC中：∠BAC+∠ACB+∠ABC=180；

   ∠BAC=∠DAC+∠DAB=∠ACB+∠ABC

∴2∠BAC=180

∴∠BAC=90

即三角形ABC为直角三角形

Answer 3

如图，根据题意，BD是AC上的中线，D是AC的中点，BD=AC/2
那么BD=AD=DC
因为AD=BD，所以三角形ADB是等腰三角形
角A=角ABD
因为BD=DC，所以三角形BDC是等腰三角形
所以角C=角DBC
所以角ABC=角ABD+角DBC=角A+角C
因为角ABC+角A+角C=180°
所以角ABC=90°
所以三角形ABC是直角三角形

Answer 4

方法一：
如图：已知：cd平分ab，且cd=ad=bd，
求证：△abc是直角三角形．
证明：∵ad=cd，
∴∠a=∠1．
同理∠2=∠b．
∵∠2+∠b+∠a+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠acb=90°，
∴△abc是直角三角形．
方法二：
以d为圆心，cd为半径画圆，
则圆d过a、b、c三点 
 ∵ab为圆d的直径 
 ∴∠acb=90°(直径所对的
圆周角等于90°)

Answer 5

如图，根据题意，BD是AC上的中线，D是AC的中点，BD=AC/2
那么BD=AD=DC
因为AD=BD，所以三角形ADB是等腰三角形
角A=角ABD
因为BD=DC，所以三角形BDC是等腰三角形
所以角C=角DBC
所以角ABC=角ABD+角DBC=角A+角C
因为角ABC+角A+角C=180°
所以角ABC=90°
所以三角形ABC是直角三角形