Question

若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）

A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2

我知道选C，我只是不懂怎证明A不对，二次函数先别使，我还没学呢。我在一本练习册，一元二次方程这一章发现的这道题

Answer 1

先来看(x-a)(x-b)=0（方程1）这个方程的两个根是几？很明显，就是x=a,x=b

对这一事实，我们可以画一条开口向上的抛物线（表示二次函数y=(x-a)(x-b)），且与x轴有两个交点，就是x=a,x=b,

看一看方程(x-a)(x-b)=1,就是(x-a)(x-b)-1=0,（方程2）那这个方程的两个根是x1,x2,而这个方程与方程1有什么关系呢，等你学了二次函数以后就明白，就是把函数y=(x-a)(x-b)向下平移1个单位，这样平移下来后的抛物线与x轴的二个交点就是x1,x2了，那么，在x轴上就可以看出x1,x2,a,b的大小关系了，所以答案是C，

Answer 2

同学，我帮你证明一下吧，你可以把原方程等号左边的式子拆开，把等号右边的1移到等号左边，就可以变成 X平方—（a+b）X--1=0
因为x1和x2是原方程的两根，所以一定满足 x1+ x2=a+b(这是一个定理，你们老师在讲一元二次方程的时候会和你们讲的，特别好用）。而A选项显然 x1+ x2《a+b
因为不知道你们老师已经讲到了什么程度，如果没解决你的问题还请谅解。
如果还有不懂的，随时欢迎提问！

Answer 3

我有一个代数解法：
先带a=0,b=1进去知道答案是x1<a<b<x2
那么要证x1<a<b<x2,即证
(x1-a)+(b-x2)<0(1)及
(x1-a)(b-x2)>0(2)
若上述两式成立，则(x1-a)与（b-x2）均为负数
则会有x1<a及b<x2，联并a<b,即可证x1<a<b<x2
首先化简原式得x平方-(a+b)x+ab-1=0
由韦达定理得
x1+x2=a+b(3),
x1*x2=ab-1(4)
那么对于（1），将（3）平方-4*（4）得
(x1-x2)平方=(a-b)平方+4
所以 (x1-x2)平方>(a-b)平方
所以 绝对值(x1-x2)>绝对值（a-b）
所以 x1-x2>a-b
即 (x1-a)+(b-x2)<0
即证明（1）
对于（2） 那么由（3）得
x1-a+x2-b=0(5)
所以（x1-a）与(x2-b)互为相反数
故(x1-a)(x2-b)小于等于0
由于等号时必有一为零，代入(5)后则另一也为零，但此时由(4)可知矛盾
故不存在等号情况
所以(x1-a)(x2-b)<0
即(x1-a)(b-x2)>0
即证明(2)
(1)(2)均被证明
故已证明原命题
纯自创