Question

高数，数列极限证明题

已知：任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn。求证：Xn→a（n→∞）

Answer 1

任意ε>0，区间(a+ε,a-ε)外最多只有数列Xn的有限多项，设这有限项的最大下标是正整数N，则当n＞N时，所有的Xn都在区间(a+ε,a-ε)内，即|Xn-a|＜ε，所以Xn→a (n→∞)

Answer 2

用反证法
假设Xn不收敛到a
则有：
存在ε0，任意N>0，存在n0>N，有|Xn0-a|>ε0
就即：存在n0>N，有Xn0不属于(a-ε0，a+ε0)
又有N的任意性，因此可得到一无穷数列（Xn子列）：Xn0i，
皆有Xn0i不属于(a-ε0，a+ε0)，i=1，2，…
与任意ε>0,区间(a+ε,a-ε)外最多只有有限多项Xn矛盾
故，Xn→a (n→∞)
有不懂欢迎追问

Answer 3

不就是收敛半径的问题吗？

追问

这货没学……