Question

已知函数f(x)=log以2为底(x+2)的对数(x<0)或1/2f(x-1)(x≥0),若方程f(x)=(1/2)^x+a有两个不同实根,则实数a

的取值范围

Answer 1

f(x)={ log₂(x+2)  (-2<x<0)

       {1/2*f(x-1)    (x≥0)

要画图啊

0≤x<1时，-1≤x-1<0

  f(x)=1/2*f(x-1)=1/2log₂(x+1)

1≤x<2时，0≤x-1<1,-1≤x-2<0

∴f(x)=1/2f(x-1)=1/4*f(x-2)=1/4log₂(x)

2≤x<3时，-1≤x-3<0

f(x)=1/2f(x1)=1/4f(x-2)=1/8f(x-3)=1/8log₂(x-1)

...................................................

k≤x<k+1时，k∈N,-1≤x-(k+1)<0

f(x)=1/2^(k+1)log₂(x-k+1)

在区间(-2,0)上，f(x)是增函数

在区间[k,k+1)上，f(x)分别为递增函数

 其中f(k)=0, x-->k+1时，f(x)-->1/2^(k+1)

方程f(x)=(1/2)^x+a有两个不同实根,

 则需y=(1/2)^x+a与y=f(x)图象有且只有2个交点

y=(1/2)^x+a图象是递减的

 

那么x=1时，(1/2)+a<0  ==>a<-1/2

且x=0时，(1/2)^0+a≥0  ==>a≥-1

 

∴-1≤a<0

 

有图，但不知能否显示 

追问

那么x=1时，(1/2)+aaa≥-1
为什么得出上面不等式，没看懂。图没有显示出来。

追答

看图
y=(1/2)^x+a与y轴交点，在（0,0）和(0，1)之间
∴x=0,y=(1/2)^0+a=1+a ∴0≤a+1 -1≤aa<-1/2
∴-1≤a<-1/2 （原来给的答案输入错了）