求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值
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求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值
解:f(x)=x^2-2ax+a^2-a^2+2
=(x-a)^2+2-a^2
对称轴为:x=a,顶点纵坐标为2-a^2
这种题目要讨论三种情况:
1)对称轴在区间【2,4】左侧即a<=2
函数单调递增,
最小值为:f(2)=6-4a,
最大值为:f(4)=18-8a
2)对称轴在区间【2,4】右侧,即a>=4
函数单调递减:
最小值为:f(4)=18-8a
最大值为:f(2)=6-4a
3)当对称轴在区间[2,4]内,即2<=a<=4
此时最小值为顶点纵坐标=2-a^2
最大值为f(2)与f(4)的较大者
设f(2)=6-4a>=f(4)=18-8a
解得:a>=3
即当2<=a<=3时,最大值为f(4)=18-8a
当3<=a<=4时,最大值为f(2)=6-4a
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解:f(x)=x^2-2ax+a^2-a^2+2
=(x-a)^2+2-a^2
对称轴为:x=a,顶点纵坐标为2-a^2
这种题目要讨论三种情况:
1)对称轴在区间【2,4】左侧即a<=2
函数单调递增,
最小值为:f(2)=6-4a,
最大值为:f(4)=18-8a
2)对称轴在区间【2,4】右侧,即a>=4
函数单调递减:
最小值为:f(4)=18-8a
最大值为:f(2)=6-4a
3)当对称轴在区间[2,4]内,即2<=a<=4
此时最小值为顶点纵坐标=2-a^2
最大值为f(2)与f(4)的较大者
设f(2)=6-4a>=f(4)=18-8a
解得:a>=3
即当2<=a<=3时,最大值为f(4)=18-8a
当3<=a<=4时,最大值为f(2)=6-4a
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f(x)=X^2-2ax+2
=(x-a)^2+2-a^2 (a,2-a^2)为顶点
分类讨论(函数图象开口向上):
a<2时,a在【2,4】左侧,函数在【2,4】单调递增,f(2)最小值,f(4)最大值
a在【2,4】之间时:
2<a<3时,2距a较近,故f(4)最大值,f(a)最小值
3<a<4时,3距a较近,故f(2)最大值,f(a)最小值
a>4时,a在【2,4】右侧,函数在【2,4】单调递减,f(4)最小值,f(2)最大值
=(x-a)^2+2-a^2 (a,2-a^2)为顶点
分类讨论(函数图象开口向上):
a<2时,a在【2,4】左侧,函数在【2,4】单调递增,f(2)最小值,f(4)最大值
a在【2,4】之间时:
2<a<3时,2距a较近,故f(4)最大值,f(a)最小值
3<a<4时,3距a较近,故f(2)最大值,f(a)最小值
a>4时,a在【2,4】右侧,函数在【2,4】单调递减,f(4)最小值,f(2)最大值
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该函数开口向上,以a的取值分类讨论:
a<2,f(x)max=f(4) f(x)min=f(2)
2<=x<=3,f(x)max=f(4),f(x)min=f(a)
3<=x<=4,f(x)max=f(2),f(x)min=f(a)
a>4,f(x)max=f(2),f(x)min=f(a4)
a<2,f(x)max=f(4) f(x)min=f(2)
2<=x<=3,f(x)max=f(4),f(x)min=f(a)
3<=x<=4,f(x)max=f(2),f(x)min=f(a)
a>4,f(x)max=f(2),f(x)min=f(a4)
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分情况:1:a<2;最大值f(4),最小值f(2) 2:2<=a<=3;最大值f(4),最小值f(a) 3:3<a<=4 最大值F(2)最小值F(a) 4:a>4最大值F(2),最小值F(4)
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